第二节 常数项级数收敛的判别法
一、正项级数及其收敛性判别法 二、交错级数及其收敛性判别法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结、思考题、作业
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一、正项级数及其收敛性判别法

1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n1
这种级数称为正项级数.
推广：同号级数
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
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(1) sin( n1

n2 1) (1)n sin

n1
n2 1 n

sin

n1
n2 1 n
根据比较判别法的极限形式:

lim un
sin lim
n 1
n
n2 1 1

n


2
,
知
n
n

sin( n2 1) 发散. 即原级数不是绝对收敛.
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例 4 判定下列级数的敛散性:
1
(1) sin ; n1 n
1
(2)
n1
3n

n 1
;
解
(1)

lim
n
n
sin
1 n

lim
n
sin 1
n

1,
原级数发散.
1
n
(2)

lim
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1

n 3n
1,

n1
31n收敛,
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.


定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
证明
令
vn

1 2
(un

un
)
(n 1,2, ),

显然 vn 0, 且 vn un , vn收敛,
n1



又 un (2vn un ), un 收敛.
n1
且vn kun (n N )(kun vn ), 则 vn 收敛(发散).
n1
比较判别法的不便: 须有参考级数.
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例 2. 讨论 P-级数
1
1 2p

1 3p

1 4p


1 np

的收敛性.( p

0)
解
设 p 1,
11

np

, n
则P 级数发散.
n1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界

un收敛.
n1
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(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn
不是有界数列

vn发散.
定理证毕.
n1

推论: 若 un 收敛(发散)
n1
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(2) 因为 sin( n2 1) (1)n sin

n1
n1
n2 1 n
为交错级数. 由于
① un sin

n2 1 n
sin

(n 1)2 1 (n 1) un1
② lim sin( n2 1) lim(1)n sin
n1
n1
n1
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上定理的作用： 任意项级数
正项级数


定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n0



若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
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例6

判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解

n
例 6 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解

(
x
x ) 1

2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un

lim
n
n
n 1

0.
原级数收敛.
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三、绝对收敛与条件收敛
n1
n1
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(ⅰ)un

un1
(n

1,2,3,
);(ⅱ)
lim
n
un

0,
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn的绝对值
rn un1.
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证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2n是单调增加的 , 又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
u1 数列 s2n是有界的 ,
lim n
s2n

s

u1 .

lim
n
u2n1

0,
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lim n
s2n1

lim(
n
s2n

10n n!
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值判别法失效, 改用比较判别法

(2n
1 1)

2n

1 n2

1 2n
1
1 2n
1
由基本定理知,该正项级数收敛.
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3.比较判别法 设 un和vn均为正项级数，
n1
n1


且un vn (n 1, 2, ),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1


反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1

n1
证明 (1) 设 vn un vn ,
un
即 un1 (n N )
un
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当 1时, 取 1 , 使r 1,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
uN m r m1uN 1,

而级数 r m1uN1收敛,
y
设 p 1,由图可知
1
np

n dx x n1 p
sn
1
1 2p

1 3p


1 np
y

1 xp
(
p

1)
1
2 1
dx xp


n dx x n1 p
o 1 234
x
6/32
1
n dx 1 xp
1
p
1
1
(1

1 n p1
)
1
1 p1
m1


uNm uu收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un

0.
发散
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达朗贝尔判别法的优点: 不必找参考级数. 注 1. 适用范围：un中含有n!或关于n的若干连乘积(或商)
即sn有界, 则p 级数收敛.
P

级数当 当pp

1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何(等比)级数, p-级数, 调和级数.
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例 3. 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1

而级数
1 发散,
n1 n 1
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1

1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)

un1 un

(n 1)! 1

1

n1
0
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
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(2)

un1 un

(n 1)! 10n1

sin n n2

1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
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早期研究生考试题

判别级数 sin( n2 1)是否收敛?如果 n1
收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
解 因为 sin( n2 1) sin[n ( n2 1 n)]
,

级数
n1
1 n2
收敛,
故级数


n1
2n

1 (2n

1)
收敛.
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例. 利用级数收敛性,证明