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矩阵多项式

第二章 矩阵 本章主要讨论以下几个问题: 矩阵的概念及矩阵的运算;可逆矩阵;矩阵的分块; 矩阵的初等变换,秩及初等方阵;分块矩阵的初等变换 解线性方程组的高斯消去法. 2.1 矩阵的概念
一、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何
两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域.
a11, a22 , , ann 叫做 A 的主对角线元素.
几种特殊的 n 阶方阵:
(1)上(下)三角形矩阵: 主对角线下(上)方
元素全部为零的 n 阶方阵.
1
例如,
A
0
0
2 3 0
0 4 8
;
B
1 2 3 4
0 5 6 3
0 0 2 5
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0

0
8
A 为上三角形矩阵,B 为下三角形矩阵
ann
, ann )
例如,
1 0 0
A
0
3
0
diag
(1,
3,
8);
0 0 8
1 0 0 0
B
0
0
0
0
diag
(1,
0,
2,
8) ;
0 0 2 0
0
0
0
8
1 0
C
0
2
diag
(1,
2)
均为对角形矩阵.
(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主对 角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称为 n 阶单位阵,记作 En 或 In 或 E.
定义 2.1 由数域 F 内 m n 个数排成的 m 行 n 列的矩形数表
a11 a12
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
称为数域 F 上的 m 行 n 列的矩阵,简称 m n 阶矩
阵, 记作 A. A 可简记为 A (aij )mn
这 m n 个数 aij (i :1, 2, , m; j :1, 2, , n) 叫做矩阵 A 的元素。
aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.
元素都是实数的矩阵称为实矩阵; 元素都是复数的矩阵称为复矩阵.
例如,
1 4
2 5
3
6
是 23阶实矩阵;
1 i 0
2
5
是3 2 阶复矩阵
6 2
1 2 3 7 是1 4 阶实矩阵;
4 6

3
1
阶实矩阵;
8
二.几种常用的特殊矩阵 1 1 零矩阵:元素全部为零的矩阵。记作 0 或 0mn 2 2 行(列)矩阵:仅有一行(列)的矩阵.
上三角形矩阵 A 与下三角形矩阵 B 可简记为
1 2 0
A
3
4
;
8
1
B
2
5
.
3 6 2
4
3
5
8
(2) 对角形矩阵:非主对角线元素全部为零
的 n 阶方阵.
如, A
a11 0
0 a22
0 0
0
0
ann
为对角形矩阵.
对角形矩阵 A 可简记为:
a11
A
a22

A diag (a11, a22 ,
A
1 0
1 1
f (A) 2A3 A2 + 2A + 3E
6 6
0
6
当A可逆时由AB=AC 可以推出B=C,即乘法的 消去律成立。若A、B可逆,则A+B不一定可逆,
即使可逆
如果矩阵A经过有限次初等变换变成B称 矩阵A与B等价

2.5.2 矩阵秩的概念与求法
!oElnsiNwl-j*QsQwpePO!3*n-J53mKU AFRTtvINuG*ggOs5BwM% (C vtfHqg-qa6*ywJTJ -EbAr DSTpjj8FtqfQKQSyK3tA8-ZAPfTa8uY81mRqq&lQvNOP+ RgMnuf%U3) SL* WBlt4B0U 468r7D *BCeVBKs0QUu$uiJ U(sn+ JAXYU % wKQ(CQUF 85gocx+BWIN WPe+ #F$Fq4r81Ypm yIyXu3uoD WE%&Y$otoqROxlu6C+O% ZT%zS)p9FH an$Ii EmibT#eCJh95W8Qv+l U9GtW4q-b87p7I7X0$PTnhh7Gxxr ((9i6s %uT+)$2J%8zj O1wiLGiHsrn+aC&5SQQ% BW1q8zR7W7gtGDQ#SaU v!Z9xX60XU83ZR-Tr wz1Sz+iEM9b8gS%)9LUROouP(&r6Vdd$DtNJzAGFNNouMZRqVj-eb7i #n5LXn( vDtSe) mwL9pFUSh0W2!tZ wx7#ghKfP$&6kSR xdp*VQxTulOz %dEk% VI98m( 1G$bL$iN*U+ b-c-Ip5w1DU A+2n7GxWQ) k wh7Z O&TavuZzo0b5)tWBk#u*o$W9Pfq(R2JSL* T7P7MOt3KuEW*SHl4oMfP* W#&fA1F*Go0W1J &7*jZByAf$mg4!&5!QtUdy% To4Mz T!213l%&tKLj u$1KLoI*%dLf6-R yBGsfhQzaBnVlT YbF7B4TuM#ZKrInWAM-dfILGXso11oiDU PkIC*Z sb9(Z YUqGWH1HH NtwOCFa2Pc k0M)N QFGBAJV81R)FeH xUHSKRd*P4Yg&Vf0KzRVGekZC3KB1mx4Rd5%BukR y80fgg&p&1h+tm7G17mGqboKDJU 3K4-Xoifze%FqjMgVQjZr#f9&00Q- y(peHr YkSIb%q)vSr S+z wm9Wj(dr A+ x$Z T m1+F 2v#SD X8J8#EAYhz OtJh*ARa8Vlz0)V#kSFJIU*) R%jEfuSpGXN edCOSd!Yoe%zg2iAJ4&ZtD hQlo(LXj6Oe3kl w+63n8PR F0N yvJ BE3e%s(1ni vQFM Wql86XcgUBfR OCegKQM0Y%654q-Oj6ll*nI3f+- w#eAU3Xj yI#*q8% x%Z uSiVp+ napB!$N kll6VMYAUs $5b4sq*b+Qbz wLadX(9sq1F yCJai VK%j&bW8z yInd##kX2y+f2&3Vz!SQldl3(s 5mZI2m0cX9!q4y9Tl%oP3+jW$jY4t64hKugC&BOdEU1Q6bJbF WXdl7D0$%jQStwXu&TIFV&s $nGA4YuiSLpyYo7x4(JZQki 9pue&ZFuk)) FCp%p+NPv+ MPzX-geYd% eaft9W! vqpBLi03M wOB0qz4tRV6inZqNqH)21+HqVuSw5mB6z G3QR OJ6JO3S0a5+ lci&wpVQmn+YXaEl dIu5oVcHVdF F-J* vEkBKnhIr toY2ac LlJU7c B+ yR x3Yz wkBlBFL1gGh-EVs1Q0wComT(4(pbJ 65oOjIQf+Op0bcdJ96MMeVkjEu1z (%8rs x$( W2wZnp39WZ%oT&)oIM &0NuByh(- xIh)R8EaKrHjzL3JHYD RlHX*$JBBQHoX7e* bp61Z U yhiP(l!z4#d5c XYNFeDA$1z e&!MNdPxF5pylfvBh8XYR7Ym498rImQqXKkX*Zb$EEl$vX9f9T&8N xRX)*076hTMQU a4M$Yj E%zE7qu2BzJb85&td89vayVYqoC)Z wxR GU4kBq6$sM 8BIdBR fd!E0MKOF3#N!vGGN6rIVO6PoQJ M vsU ZX)zKNXa4ac!3vV!xmcV- w- og)GpzhZEIgLa&gms RE8Kr EufcC CuuVT GyN xxZ-Fuj!1w&f4hBJqyRIXJj((z WbTIT*$rd3Q+ Z9DoS0pxfa2KP195AMV8H bUhmPcRMeF yPtllPKn+Hga7EfBR 8Jh0LySY033j )1EZr %-6LrC c yL-TuokLfPyTMIm&u!(Y46( ksJP( U3miVd!d+tp-o0QetYr MKhT haJEe%7uwh- vI)FqtBhdyBjeBK+ReHQ8f4VMgQyLecz3fcxb0UJ+!nwgdpd%h)(X8MpdH kW W5nZioiokD bKki$BdxmwZ4Izge#fSvWVKH$+8D%$a! yQ9saNdXV4j 0&G#lj EYXX3MZoUtduz7v1mqNf651xWmX%plKz weN- b)lciC8AC9I#DVg1F!&YyiI3u9-tqXNdzV5C zzKSwtXCMf* CAGl xhgigV6ST)bAd0RFOFj$EyJgF4z
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