第10章 线性系统的多项式矩阵描述
10.1 多项式矩阵描述
前已讲过，多项式矩阵描述（PMD） P(s)(s)=Q(s)u(s) y(s)=R(s) (s)+W(s)u(s) 它是系统的内部描述，是最一般的描述。 不可简约PMD {P(s)，Q(s)}左互质，且{P(s)，R(s)}右互质 不可简约PMD不唯一 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约 {U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约 U(s),V(s)为单模矩阵
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注： 求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左公因子 和P(s)和R(s)的右公因子，使传递函数矩阵的零极 点不包含解耦零点。 若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点 Ps和零点Zs分别为
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由可简约PMD求不可简约PMD （1）{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质 此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s), 非奇 则 P( s) H ( s) P ( s)
Q( s ) H ( s )Q ( s ) P ( s ), Q ( s )左互质 P( s ) ( s ) Q( s )u ( s )两边左乘H 1 ( s), 得 P ( s ) ( s ) Q ( s )u ( s ) y ( s ) R( s ) ( s ) W ( s)u ( s ) 不可简约 P ( s) P( s) rank , 故P ( s ), R( s )右互质. rank R( s) R( s)
1.
输入解耦零点(input decoupling zero)
若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中，P(s)、Q(s)存在非单模的gcld H(s)，即 ( s) H ( s) P ( s), Q( s) H ( s)Q ( s), 则 P
G( s) R( s)[ H ( s) P ( s)]1[ H ( s)Q ( s)] W ( s) R( s) P ( s) 1 Q ( s) W ( s)
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（3）前两种情况的组合 P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld
H(s), 得
H 1 ( s ) P ( s ) ( s ) H 1 ( s )Q ( s )u ( s ) y ( s ) R ( s ) ( s ) W ( s )u ( s ) 再消去H 1 ( s ) P ( s )和R ( s )的gcrd F ( s ) , 即做代换 ~ ( s ) F ( s ) ( s ) ~ H 1 ( s ) P ( s ) F 1 ( s ) ( s ) H 1 ( s )Q ( s )u ( s ) ~ 1 y ( s ) R ( s ) F ( s ) ( s ) W ( s )u ( s ) ~ ~ 1 1 P ( s ) H ( s ) P ( s ) F ( s ), Q ( s ) H 1 ( s )Q ( s ) ~ R ( s ) R ( s ) F 1 ( s ), W ( s ) ~ ~ ~ {P ( s ), Q ( s ), R ( s ), W ( s )}即为不可简约
意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分 状态不完全反映到系统输出中去。
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3.
输入输出解耦零点 若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s), (不一定gcld) 同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s) 即 P ( s ) L( s ) P ( s ) Q( s ) L( s )Q ( s )
则 {系统完全能控且能观} A)b和(s)无零极对消现象 {系统完全能观} c adj(sI-A)和(s)无零极对消现象
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10.4 系统的零极点
一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不 是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。
1 1
P( s ) P2 ( s ) L( s ) 则
R( s ) R1 ( s ) L( s )
G ( s ) R( s ) P 1 ( s )Q1 ( s ) W ( s ) 1 R1 ( s ) P21 ( s )Q( s ) W ( s )
显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z., 又是o.d.z. 这样的L(s) 的零点称为输入输出解耦零点，i.o.d.z
求观测器形实现（利用上节方法）， 必有
Co ( sI Ao ) 1 Bo Pr1 ( s )Qr ( s ) ( Ao , Co )observable ( s ) [ Pr1 ( s )Qr ( s ) Y ( s )]u ( s ) Co ( sI Ao ) 1 Bo u ( s ) Y ( s )u ( s )
(s) P 1 (s)Q(s)u(s) 在P(s)(s)=Q(s)u(s)中，先求
的实现。 步骤： 先把 P 1 ( s)Q( s) 化成满足左MFD求实现的条件，即P(s) Pr1 ( 化为行既约， s)Qr (s) 严格真；
( s) P 1 ( s )Q( s )u ( s) [ M ) P( s )]1[ Ms )]u ( s ) (s ( s )Q(
可见，H(s)中的gcld H(s)在传递函数矩阵中消失了，这 导致了零极点对消。 定义：det H(s)=0的根为输入解耦零点。 意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了 耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。 由于 [ P ( s ) Q ( s )] H ( s )[ P ( s ) Q ( s )]
实现不唯一，有维数最小的一类实现，称为最小实现。最小 实现能控且能观，不同的最小实现间代数等价。 二 . 算法：以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
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思路： 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约， 严格真；
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10.2 PMD的状态空间实现
一. 定义 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空间描述 {A,B,C,E(p)}，使
R ( s ) P 1 ( s )Q ( s ) W ( s ) C ( sI A) 1 B E ( s ) 则称{ A, B, C , E ( p )}为给定PMD的实现.
同一系统，其PMD为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，
系统极点是det P(s)=0的 根 状态空间描述为{A,B,C,E} 系统极点是det(sI-A)=0 的根 以上二者是等同的。 系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递 函数矩阵时可能发生零极对消。 对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系 04级研究生《线性系统理论》教案
总之 y ( s) R( s) ( s) W ( s)u ( s)

X ( s )( sI Ao ) Co
R( s)Co ( sI Ao ) 1 Bou ( s) [ R( s)Y ( s) W ( s)]u ( s)
Co ( sI Ao ) 1 Bou ( s) [ X ( s) Bo R( s)Y ( s) W ( s)]u ( s) Co ( sI Ao ) 1 Bou ( s) E ( s)u ( s)
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实现为 { Ao , Bo , Co , E ( p)} 三. 最小实现 当且仅当PMD为不可简约时，其维数为n=deg detP(s) 的任何实现均为最小实现。
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10.3 PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性
互质性与能控性、能观性的等价性 1. 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=deg detP(s)=dim A的一个实现为{A,B,C,E(p)}，则 {P(s),Q(s)}左互质{A，B}能控 {P(s),R(s)}右互质{A，C}能观 N ( s) D 1 ( s) N ( s) D 1 ( s) I E ( s) 2. 对右MFD， 能控类实现：{A，B，C，E}，dim A=deg detD(s) 则：{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观 （已经能控） DL 1 (s) N L ( s) IDL 1 ( s) N ( s) E ( s) 对左MFD， { 能观类实现：A , B , C , E }, dim A deg det DL ( s ), 则
{DL ( s ), N L ( s )}右互质 { A , B }能控
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3. 对{A,B,C,E(p)}, G( s) C ( sI A) 1 B E ( s) {A，B}能控{sI-A，B}左互质 {A，C}能观{sI-A，C}右互质 此即为PBH秩判据的结论。 4. SISO系统{A，b，c}， c adj( sI A) b N ( s) 1 g ( s) c( sI A) b det(sI A) ( s )
rank[ P ( s ) Q ( s )] m, s C
所以，输入零点又等于使[P(s) Q(s)]行降秩的s值。 04级研究生《线性系统理论》教案
2.
输出解耦零点(output decoupling zero)
若P(s)和R(s)存在非单模的gcrd F(s)
P( s) P ( s) F ( s) R( s) R ( s) F ( s) 则G ( s ) [ R ( s ) F ( s )][ P ( s ) F ( s )]1 Q ( s ) W ( s ) R ( s ) P ( s ) 1 Q ( s ) W ( s ) 可见, F ( s )被消去了. 定义 : det F ( s ) 0的根为输出解耦零点 . P( s) 同前, 输出解耦零点又等同于使 降秩的所有s值. R( s)