分叉点, 特征值屈曲
3、非线性特征值屈曲
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• 非线性屈曲 分析采用逐渐增加载荷的非线性静态分析, 以搜索在哪 个载荷水平下结构开始变得不稳定。
• 使用非线性屈曲分析, 可以包括初始缺陷、塑性行为、接触、大变 形响应及其它非线性行为。
F
2、线性特征值屈曲
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• 然而, 缺陷和非线性行为阻止大多数实际结构达到理想的弹性屈曲 强度，特征值屈曲一般产生非保守 解, 使用时应谨慎。 F
极限载荷 分叉点 理想载荷路径 有缺陷结构的载荷路径
前屈曲
u
尽管特征值屈曲一般产生非保守的结果, 线性屈曲分析仍有两个优点: -相对不费时(快捷)的分析。 -为了提供更真实的结果, 屈曲模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几 何缺陷
2、线性特征值屈曲
假设前屈曲行为是一个外加载荷 {P0} 的线性函数, {P} = l{P0} 则可得 [Ks(s)] = l[Ks(s0)] 因此, 整个前屈曲范围 内的增量平衡方程变为 {P} = [[Ke] + l[Ks(s0)]]{u} {u} = l{u0} {s } = l {s 0}
Fapp Fcr KT = 0 KT < 0 u
使用载荷控制只有 Fcr 可达到。
3、非线性特征值屈曲
• 位移控制:
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• 当拱由增量位移加载时, 与力相反, 采用位移控制 进行求解。位移 控制的优点是, 除 Fcr外, 它产生一个稳定的解。(强加的位移在不 稳定点提供一个附加约束。)
屈曲分析
1、结构稳定性背景
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• 很多结构需要评价它们的结构稳定性，细柱体、压杆和真空罐都是 稳定性非常重要的结构的例子。 • 在不稳定性(屈曲)的开始, 在载荷没有实质性变化的情况下(除了一 个小的载荷扰动), 结构的位移将有一个非常大的变化{u}。
2、线性特征值屈曲
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线性屈曲分析基于经典的特征值问题。为推导特征值问题, 首先求解线弹性 前屈曲载荷状态 {P0} 的载荷-位移关系，即给定 {P0} 求解 [Ke]{u0}= {P0} 得到 {u0} = 施加载荷 {P0} 的位移结果 {s } = 与{u0}对应的应力 假设前屈曲位移很小, 在任意 状态下({P}, {u}, {s}) 增量平衡方程由下式给出 {P} = [[Ke] + [K s(s)]]{u} 式中 [Ke] = 弹性刚度矩阵 [Ks (s)]=某应力状态 {s} 下计算的初始应力矩阵
分叉点 极限点
理想载荷路径 有缺陷结构的载荷路径
理想静态行 为
实际动态响应
前屈曲
后屈曲
u
3、非线性特征值屈曲
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有几种分析技术用于计算结构的非线性 静力变形响应，这些技术包括: -载荷控制 -位移控制 -弧长法 载荷控制: 如下图所示, 考虑浅拱的快速通过分析，当以增量载荷 (F) 求解该问题时, 求解采用载荷控制来完成。
1、结构稳定性背景
• 极限载荷
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• 在实际结构中, 很难达到临界载荷，因为扰动和非线性行为, 低于 临界载荷时结构通常变得不稳定。
F
分叉点 实际的结构响应, 低于临界载 荷时出现不稳定性。
Fcr
u
2、线性特征值屈曲
F 3 2 1
4
ห้องสมุดไป่ตู้
F
4 3 2
1
u

弧长法
Newton-Raphson 法
u
3、非线性特征值屈曲
弧长法:
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通过圆弧, 弧长法把增量载 荷因子 l与增量位移 u 相 联系，图示为全 NewtonRaphson弧长法的增量载荷 因子 l 和增量位移u。
F F F
Fapp
用载荷控制能达到 Fapp吗？
u
3、非线性特征值屈曲
载荷控制:
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• 使用 Newton-Raphson 载荷控制的困难是求解不能通过不稳定点。 在不稳定点 (Fcr), 切线刚度矩阵 KT 是奇异的，使用载荷控制, Newton-Raphson 法不收敛。然而, 该类型的分析对描述结构的前 屈曲 行为是有用的。
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在不稳定性开始 (屈曲载荷{Pcr}) 时, 在 {P} 0 的情况下, 结构会出现一个变 形 {u}。
把上述表达式 ({P} 0) 代入前面的前屈曲范围内 的增量平衡方程, 则有
[[Ke] + l[Ks(s0)]]{u} = {0}
• 前屈曲和坍塌载荷分析的分析技术包括: – 线性特征值屈曲 – 非线性屈曲分析
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F
非线性屈曲 线性特征 值屈曲 理想载荷路径 有缺陷结构的载荷路径
前屈曲
u
特征值屈曲分析 预测一个理想线弹性 结构的理论屈曲强度(分叉点) 特征值公式决定结构的分叉点，该方法与线弹性屈曲分析的教科书所述方法 一致。Euler 柱体的特征值屈曲解与经典Euler 解吻合。
– 注意若去除约束 , 则弧长法简化为全 Newton-Raphson 法。
3、非线性特征值屈曲
弧长法:
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• 观察弧长法和 (完全) Newton-Raphson 法的区别的另一种方法是, Newton-Raphson 法在每一子步使用一个固定的 外加载荷矢量{Fa} ，而弧长法在每一子步使用一个可变的 载荷矢量 l{Fa}。
F
稳定 不稳定
F
1、结构稳定性背景
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• 当增加轴向载荷(F)时, 一个理想化的端部固定的柱体将呈现下述行 为。 F F
F
分叉点 不稳定平衡
中性平衡
Fcr u
稳定平衡
u
1、结构稳定性背景
• 分叉点 • 分叉点 是载荷历程中的一点, 该点可能存在两个分支解。 • 在理想化的端部固定柱体的情况下, 在临界载荷(Fcr)下, 柱体可向左或向右屈曲，因此可能存在两个载荷路径。 在实际结构中, 几何缺陷的存在或力的扰动(P 0) 将决定载荷路径的方向。 F P F
UY
Fapp
UY UY
用位移控制 能够达到 Fapp. ( 此时 Fapp是强 加的位移 UY处的反作 用力。)
u
3、非线性特征值屈曲
• 位移控制:
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• 位移控制的缺点是只有在知道施加什么位移时才适用! 如果拱上施 加压力载荷, 而不是集中力, 位移控制不可能使用。
2、线性特征值屈曲
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3、非线性特征值屈曲
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下图为一般的非线性载荷变形曲线，该图说明理想载荷路径、有缺陷 结构的载荷路径和该结构的实际动态响应。 F
F
u
3、非线性特征值屈曲
弧长法:
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• 弧长法同时求解载荷和位移, 与 Newton-Raphson 法相似，然而,引 入了一个附加的未知项--载荷因子l (-1 < l < 1)。力平衡方程可重写 为, [KT]{u} = l {Fa} - {Fnr} • 为了容纳附加的未知项, 必须引入一个约束方程--弧长 ，弧长把载 荷因子 l 和 弧长迭代中的位移增量 {u} 相联系。
上述关系代表经典的特征值问题。
2、线性特征值屈曲
为了满足前面的关系, 必须有: det[[Ke] + l[Ks(s0)]] = 0
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在 n 个自由度的有限元模型中, 上述方程产生 l (特征值) 的 n阶多项 式，这种情况下特征向量 {u}n 表示屈曲时叠加到系统上的变形，由计 算出的 l 最小值给定弹性临界载荷{Pcr}。
2 弧长半径 un l2
3、非线性特征值屈曲
弧长法:
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• 通过强加弧长迭代以得到沿与平衡路径相交的圆弧收敛, 能够获得 经历零或负的刚度行为的结构的解。
F