第1讲 功和功率 动能定理[析考情·明考向]___________________________________考情分析__透视命题规律 一、构建体系 透析考情 思维导图 考情分析1.高考在本讲命题点主要集中在正、负功的判断，功率的分析与计算，机车启动模型等问题上，题目具有一定的综合性，难度适中。

2.本讲高考单独命题以选择题为主，如2020年天津卷第8题；综合命题以计算题为主，常将动能定理与机械能守恒定律、能量守恒定律相结合。

3.关注以竞技体育或近现代科技为背景命制的题目及与图像问题相结合的情景题目。

1．功(1)恒力做功：W ＝Fl cos α(α为F 与l 之间的夹角)。

(2)变力做功：①用动能定理求解；②用F -x 图线与x 轴所围“面积”求解。

2．功率(1)平均功率：P ＝Wt＝F v －cos α(α为F 与v －的夹角)。

(2)瞬时功率：P ＝F v cos α(α为F 与v 的夹角)。

(3)机车启动两类模型中的关键方程：P ＝F ·v ，F －F 阻＝ma ，v m ＝PF 阻，Pt －F 阻x ＝ΔE k 。

3．动能定理：W 合＝12m v 2－12m v 20。

4．应用动能定理时的两点注意(1)应用动能定理的关键是写出各力做功的代数和，不要漏掉某个力做的功，同时要注意各力做功的正、负。

(2)动能定理是标量式，不能在某一方向上应用。

[研考向·提能力]___________________________________考向研析__掌握应试技能考向一 功和功率的分析与计算1．区分恒力、变力：恒力做功一般用功的公式或动能定理求解，变力做功用动能定理或图像法求解。

2．图像法求功的四种情况：力做的功分别为W 甲＝F 1x 1、W 乙＝12F 2x 2、W 丙＝π4F 3x 3(图丙中F -x的图线是四分之一圆周)、W 丁＝12Pt 1＋P (t 2－t 1)。

3．区分公式：P ＝Wt侧重于平均功率的计算，P ＝F v cos θ侧重于瞬时功率的计算。

[典例1] (多选)(2018·高考全国卷Ⅲ)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。

某竖井中矿车提升的速度大小v 随时间t 的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。

不考虑摩擦阻力和空气阻力。

对于第①次和第②次提升过程( )A ．矿车上升所用的时间之比为4∶5B ．电机的最大牵引力之比为2∶1C ．电机输出的最大功率之比为2∶1D ．电机所做的功之比为4∶5[解析] 由图线①知，矿车上升总高度 h ＝v 02·2t 0＝v 0t 0。

由图线②知，加速阶段和减速阶段上升高度和h 1＝v 022·(t 02＋t 02)＝14v 0t 0，匀速阶段：h －h 1＝12v 0·t ′，解得t ′＝32t 0，故第②次提升过程所用时间为t 02＋32t 0＋t 02＝52t 0，两次上升所用时间之比为2t 0∶52t 0＝4∶5，A 对；对矿车受力分析，当矿车向上做加速直线运动时，电机的牵引力最大，由于加速阶段加速度相同，故加速时牵引力相同，B 错； 在加速上升阶段，由牛顿第二定律知， F －mg ＝ma ，F ＝m (g ＋a )， 第①次在t 0时刻，功率P 1＝F ·v 0，第②次在t 02时刻，功率P 2＝F ·v 02，第②次在匀速阶段P 2′＝F ′·v 02＝mg ·v 02＜P 2，可知，电机输出的最大功率之比P 1∶P 2＝2∶1，C 对； 由动能定理知，两个过程动能变化量相同，克服重力做功相同，故两次电机做功也相同，D 错。

[答案] AC1．如图所示，将完全相同的四个小球1、2、3、4分别从同一高度由静止释放或平抛(图乙)，其中图丙是一倾角为45°的光滑斜面，图丁为14光滑圆弧，不计空气阻力，则下列对四种情况下相关物理量的比较正确的是( )A ．落地时间t 1＝t 2＝t 3＝t 4B ．全程重力做功W 1＝W 2>W 3＝W 4C ．落地瞬间重力的功率P 1＝P 2＝P 3＝P 4D ．全程重力做功的平均功率 P －1＝P －2>P －3>P －4解析：图甲、乙中小球在竖直方向均做自由落体运动，故t 1＝t 2＝2hg，其中h 为竖直高度，对图丙，h sin θ＝12gt 23sin θ，t 3＝2hg sin 2θ，其中θ为斜面倾角，比较图丙和图丁，由动能定理可知，两小球从初始位置到水平面上同一高度处速度大小总相等，但小球4的路程长，因此t 1＝t 2<t 3<t 4，选项A 错误；因竖直高度相等，因此重力做功相等，选项B 错误；重力的瞬时功率等于mg v y ，小球四种方式落地时的竖直分速度v y 1＝v y 2>v y 3>v y 4＝0，故落地瞬间重力的功率P 1＝P 2>P 3>P 4，选项C 错误；全程重力做功的平均功率P －＝Wt，因W 相同，t 1＝t 2<t 3<t 4，故P －1＝P －2>P －3>P －4，选项D 正确。

答案：D2．(多选)放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间的图像和该拉力的功率与时间的图像分别如图甲、乙所示。

下列说法正确的是( )A ．0～6 s 内物体的位移大小为30 mB ．0～6 s 内拉力做的功为70 JC ．合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等D ．滑动摩擦力的大小为5 N解析：由v -t 图像与t 轴围成的面积表示位移，可得0～6 s 内物体的位移大小x ＝4＋62×6 m ＝30 m ，故A 正确；由P -t 图像与t 轴围成的面积表示做功多少，可得在0～2 s 内拉力对物体做的功W 1＝30×22J ＝30 J ，2～6 s 内拉力对物体做的功W 2＝10×4 J ＝40 J ，所以0～6 s 内拉力做的功为W ＝W 1＋W 2＝70 J ，B 正确；由图甲可知，在2～6 s 内，物体做匀速运动，合外力为零，则合外力在0～6 s 内做的功与0～2 s 内做的功相等，故C 正确；在2～6 s 内，v ＝6 m/s ，P ＝10 W ，物体做匀速运动，滑动摩擦力F f ＝F ＝P v ＝106 N ＝53N ，故D 错误。

答案：ABC3．(多选)如图所示，传送带AB的倾角为θ，且传送带足够长，现有质量为m、可视为质点的物体以初速度v0从B端开始向上运动，物体与传送带之间的动摩擦因数μ>tan θ，传送带的速度为v(v0<v)，方向未知，重力加速度为g。

物体在传送带上运动过程中，下列说法正确的是() A．摩擦力对物体做功的最大瞬时功率一定是μmg v cos θB．摩擦力对物体做功的最大瞬时功率一定是μmg v0cos θC．摩擦力对物体可能先做负功后做正功D．摩擦力对物体做的总功可能为零解析：物体与传送带之间的动摩擦因数μ>tan θ，则μmg cos θ>mg sin θ，传送带的速度为v(v0<v)，若v0与v同向，物体先做匀加速运动，直至物体加速运动到与传送带速度相同时物体速度最大，此时摩擦力的瞬时功率最大，则最大瞬时功率为P＝μmg v cos θ；若v0与v反向，物体沿传送带先向上做减速运动，达到静止后再向下做加速运动，在速率达到v0时正好运动到B端，物体在传送带上运动的速度最大为v0，此时摩擦力的瞬时功率最大，则最大瞬时功率为P＝μmg v0cos θ，因为最大瞬时功率有两种可能值，所以选项A、B错误。

若v0与v反向，物体先是沿传送带向上做匀减速运动，速度为零后，沿传送带向下做匀加速运动，滑动摩擦力方向始终沿传送带向下，摩擦力先对物体做负功，后做正功，物体回到B端时位移为零，滑动摩擦力做的总功为零，选项C、D正确。

答案：CD考向二机车启动问题1．恒定功率启动(1)机车先做加速度逐渐减小的变加速直线运动，后做匀速直线运动，速度—时间图像如图所示。

(2)常用公式①当F＝F阻时，v m＝PF＝PF阻。

②Pt－F阻x＝12m v2m－0。

2．恒定加速度启动(1)机车先做匀加速直线运动，当功率增大到额定功率后获得匀加速的最大速度v1，之后做变加速直线运动，直至达到最大速度v m后做匀速直线运动，速度—时间图像如图所示。

(2)常用公式⎩⎪⎨⎪⎧F－F阻＝maP额＝F v1P额＝F阻v mv1＝at1[典例2] 如图所示为汽车在水平路面上启动过程的v -t 图像，Oa 为过原点的倾斜直线，ab段是汽车以额定功率行驶时的加速阶段速度随时间变化的曲线，bc 段是与ab 段相切的水平直线。

整个启动过程中阻力恒为f ，则下列说法正确的是( )A ．0～t 1时间内汽车以恒定功率做匀加速运动B ．t 1～t 2时间内汽车的平均速度为v 1＋v 22C ．t 1～t 2时间内汽车牵引力做的功等于12m (v 22－v 21) D ．在全过程中t 1时刻汽车的牵引力及其功率都是最大值[解析] 由题图可知，0～t 1时间内汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，速度增大，根据P ＝F v 可知，汽车的功率增大，t 1～t 2时间内，汽车的功率不变，速度增大，牵引力减小，t 2时刻后，牵引力减小到与阻力相等，汽车做匀速直线运动，可知在全过程中t 1时刻汽车的牵引力及其功率都是最大值，选项A 错误，D 正确；t 1～t 2时间内，汽车做变加速直线运动，平均速度v －≠v 1＋v 22，选项B 错误；t 1～t 2时间内，设汽车牵引力做的功为W ，克服摩擦力做的功为W f ，由动能定理可得W －W f ＝12m v 22－12m v 21，则牵引力做的功W ＝W f ＋12m v 22－12m v 21，选项C 错误。

[答案] D 易错警示解决机车启动问题时的四点注意……………………………………………………(1)匀加速启动过程中，最大功率是额定功率，匀加速的末速度不是机车运行的最大速度。

(2)以额定功率启动的过程中，牵引力的最小值等于阻力。

(3)无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P ＝F 阻v m ，P 为机车的额定功率。

4．如图所示，质量为m 的汽车在某下坡的公路上，从速度v 0开始加速运动，经时间t 速度达到最大值v m 。

设在此过程中汽车发动机的功率恒为P ，汽车所受的阻力为恒力。

对于该过程，以下说法正确的是( )A ．该过程中汽车一直做匀加速直线运动B ．该过程中汽车所受阻力f ＝Pv mC ．该过程中汽车所受阻力做功的大小为Pt ＋12m v 2mD ．该过程中汽车做加速度不断减小的加速运动解析：汽车发动机的功率恒为P ，则汽车做加速度逐渐减小的加速运动，A 错误，D 正确；汽车速度达到最大值v m 时，汽车的牵引力F ＝P v m ，故f ＝Pv m＋mg sin θ，B 错误；由于还有重力做功，汽车所受阻力做的功无法求出，C 错误。