理数圆锥曲线１. (2０１4大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F２,点A在C上.若|F１A|＝2|F2A|,则ｃｏs∠ＡＦ2F1＝( ）A. B. C. D.[答案］１．A[解析］ 1.由题意得解得|Ｆ2Ａ|=2a，|F1A|＝４a,又由已知可得=2,所以ｃ=２a，即|F1F2|＝4a，∴coｓ∠AＦ２F1===.故选Ａ.2.(201４大纲全国，6,5分）已知椭圆C：+=１(ａ＞b>0)的左、右焦点为Ｆ1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于Ａ、Ｂ两点.若△AＦ１B的周长为４,则C的方程为( ）A.+=1B.+y２＝１C.+=１Ｄ.＋＝1[答案］２.Ａ［解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则ａ=,又＝＝,∴c＝1,∴b2=２,∴C的方程为＋=1,选Ａ.３. （2０14重庆,8,5分）设Ｆ1、F2分别为双曲线-＝1(a＞0,b>０)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PＦ1|+|PF2|＝3ｂ,｜PF1|·|PＦ２｜=ab，则该双曲线的离心率为( )Ａ. B.Ｃ.Ｄ．３[答案] 3.B[解析] 3.设|PF1|=m,｜PF2｜=n,依题意不妨设ｍ＞ｎ＞0,于是∴ｍ·n=··⇒m＝3n.∴a＝n，b＝n⇒c=n,∴ｅ＝，选Ｂ.4. (20１4广东,4,5分)若实数k满足0＜k<9,则曲线-=1与曲线-=1的（)A.焦距相等Ｂ.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等［答案] 4.A[解析] 4.∵0＜k＜9,∴9-k＞０,25-k>０.∴－＝1与-=1均表示双曲线,又25+(9-k）=3４－k=(25-k）+９,∴它们的焦距相等,故选A．5．(２０14福建,９,5分）设P,Q分别为圆x2+(ｙ－6)2=2和椭圆+ｙ2=１上的点,则Ｐ,Ｑ两点间的最大距离是()A.5B．+ C.7＋D．6[答案］ 5.D[解析] 5．设Q(cos θ,ｓin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ｜=＝＝=≤５,故｜PQ|max=5+=6.6.（２01４山东,10,5分）已知a>b>０,椭圆C1的方程为＋=1,双曲线C2的方程为－＝１,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )A．x±y=0B.ｘ±y＝0C.ｘ±2y=0D.2x±y＝０[答案] 6．A[解析]6．设椭圆C１和双曲线C２的离心率分别为e1和e2,则ｅ1=,e2=．因为ｅ１·e２=，所以=,即=，∴=．故双曲线的渐近线方程为y=±x＝±x,即x±y=0.7.(2014天津,５,5分）已知双曲线-=１(a>０，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y=2ｘ+1０,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为（)A.-=１B.-=1 C．-=1D．-=1[答案] 7．A［解析］7.由题意得=2且c＝5.故由c2=a2+ｂ2，得25＝a2+4a2,则a2=5,b２=2０,从而双曲线方程为-=1．8．(2０1４山东青岛高三第一次模拟考试，10）如图，从点发出的光线,沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点,经抛物线反射后,穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点,则等于（）A． B.Ｃ.D．[答案] ８. B[解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴,，所以所在的直线方程为，在抛物线方程中，令可得，即从而可得,，ﻫ因为经抛物线反射后射向直线上的点,经直线反射后又回到点,ﻫ所以直线的方程为，ﻫ故选B.9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是( )A. B.Ｃ. D.[答案] 9． D[解析] 9．因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为,所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.10. (20１4江西,1５,５分)过点M(1,1）作斜率为－的直线与椭圆C:＋=１(ａ>b>0）相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_______＿．[答案］10．[解析］10.设A(x1，y1）,B(x2，y2),则+=1①,+=1②.①、②两式相减并整理得=-·.把已知条件代入上式得,-=－×,∴=,故椭圆的离心率e＝=.１1.（２014湖南,１5,5分）如图，正方形ABCＤ和正方形DEFＧ的边长分别为a，ｂ（a＜b),原点Ｏ为ＡD的中点，抛物线y2=２px（p>０)经过C,F两点，则=＿_______.[答案] １1.１+[解析]11．|ＯD｜=,|ＤE｜=b,|DC|=ａ,|ＥF|＝ｂ,故C,F,又抛物线ｙ2=2px(p>0)经过C、F两点,从而有即∴b２=a2+２ab，∴-2·-1＝０,又>1，∴=1+.１２.（2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x２+=1(0<b＜1)的左、右焦点,过点Ｆ１的直线交椭圆E于A,Ｂ两点.若｜AF１|=3|Ｆ1Ｂ|，AF２⊥x轴,则椭圆E的方程为_＿____＿＿____.[答案]12．x2＋y2=1［解析］1２.不妨设点Ａ在第一象限，∵ＡＦ2⊥x轴,∴A(ｃ,ｂ2)(其中c2＝1－ｂ２,0＜b<1,ｃ>0)．又∵|AF1|=3|F１B|，∴由=３得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,∴b２=．故椭圆E的方程为x2+y２=1.13.(２014浙江，16,4分)设直线x-3y＋m=0(m≠0）与双曲线-=１(ａ>０,b>0)的两条渐近线分别交于点Ａ,B.若点Ｐ(m,０)满足|ＰA|=|PB|，则该双曲线的离心率是__＿＿____.[答案］13.[解析] 13.由得A,由得Ｂ,则线段AB的中点为Ｍ.由题意得PM⊥AB,∴kＰＭ＝-3,得a2＝４ｂ2=4c2-4ａ2，故e２=,∴e=.14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试,１2) 抛物线+12y=0的准线方程是__＿_＿＿__＿＿＿.[答案] 14. y=3[解析] １4. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上,且开口向下,且p=6,所以其准线方程为y＝3.1５. (２014大纲全国，21,12分)已知抛物线C:ｙ２＝２px(p＞0）的焦点为F,直线ｙ＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Ｑ，且｜QF｜=|PQ|.(Ⅰ)求Ｃ的方程;(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且Ａ、Ｍ、B、Ｎ四点在同一圆上,求ｌ的方程.[答案］1５．查看解析[解析] 15.(Ⅰ)设Q（x0,４)，代入y2=2px得ｘ０＝.所以|PＱ｜=,｜QF|=+ｘ0=＋.由题设得+＝×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=４x．(５分)(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=４x得y2-4my－4＝0.设A（ｘ１,y1),Ｂ(ｘ2,y2),则y1+y2=4ｍ,y1y2=－4.故AB的中点为D（2m2+1,2m),|AＢ|=|ｙ1-y２|=4（m２+１）.又l'的斜率为-m,所以l＇的方程为x=-y＋2ｍ2+３.将上式代入ｙ2=4x,并整理得y2+ｙ-４(2m2＋3)=0.设M(x3,y3），N(ｘ4,y4）,则ｙ3+y4=-,y3y4＝-4(2m2+３）．故MＮ的中点为E，|MＮ|=|y3－y4｜=.(1０分)由于MN垂直平分ＡB,故A、M、B、Ｎ四点在同一圆上等价于｜AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+｜ＤE｜2=|ＭN|2,即４(m２+1)2++=.化简得m2-1=0,解得ｍ＝1或m=－1.所求直线l的方程为x-y-1=０或x+y-1=０.（12分)16.(２014四川,20，13分)已知椭圆Ｃ:+＝１(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(Ⅰ）求椭圆C的标准方程;（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=－3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆Ｃ于点P,Q. (i)证明:OT平分线段PＱ(其中O为坐标原点）;(ｉi)当最小时，求点Ｔ的坐标.[答案] 16．查看解析[解析］16.(Ⅰ）由已知可得解得a2=6,b２=2,所以椭圆Ｃ的标准方程是+＝1.(Ⅱ)(i)由（Ⅰ)可得,F的坐标是(－2,0),设Ｔ点的坐标为（－3,m)．则直线ＴＦ的斜率k TF=＝-m．当ｍ≠0时,直线ＰQ的斜率k PＱ=,直线PＱ的方程是x=my-2．当m＝0时,直线ＰQ的方程是x=－2,也符合x=my-２的形式.设P(ｘ1,y1),Ｑ(x2,ｙ2),将直线PＱ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得（ｍ2+3)ｙ２-4my-2＝0,其判别式Δ＝16m2＋８(m2+3)＞0.所以ｙ1+y2=,y1y２＝,x1+x２＝ｍ(y1+y2）-４＝.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率k OＭ＝-,又直线OT的斜率ｋＯT=－,所以点Ｍ在直线OＴ上,因此ＯT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PＱ｜＝===．所以=＝≥=.当且仅当m2+1=,即ｍ=±1时，等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3，1)或（－３,-1）.17. (2014广东，20,1４分）已知椭圆C:+=1(ａ>b>０)的一个焦点为(,0)，离心率为. (１)求椭圆C的标准方程;（2）若动点P(x0,y０)为椭圆C外一点,且点P到椭圆Ｃ的两条切线相互垂直,求点Ｐ的轨迹方程.［答案]17．查看解析[解析] 1７.(１）由题意知c＝,e＝=,∴a=3,b2=a2－c２=4,故椭圆C的标准方程为+=1.（2)设两切线为l１，l2，①当ｌ１⊥x轴或ｌ1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥ｘ轴,可知P(±3,±2).②当l １与x轴不垂直且不平行时,x０≠±3,设l１的斜率为k，且k≠0，则ｌ2的斜率为-，l１的方程为y-y0=k（ｘ-x0),与+=１联立,整理得(9ｋ2+4)x2+18(ｙ0-kx0)kx＋9(y０-ｋx0)2－36=０，∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0，即9(y0-kx0）2k2-(9k２+4）·[(y0-kx0)２-4]=０,∴（－9)ｋ2-2x0y0ｋ+-4=０，∴k是方程(-9)x2－2x0y0x＋-4=0的一个根,同理，-是方程(－9)ｘ2-2ｘ０y０x+－4=０的另一个根,∴k·=,整理得+＝１3，其中x０≠±3,∴点P的轨迹方程为x２+y2=13（x≠±3）.检验P(±3,±２)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y２=１3.1８. (2０14江西，20,１３分)如图，已知双曲线Ｃ:-y２=1(ａ>0)的右焦点为F，点Ａ,B分别在C 的两条渐近线上，AF⊥x轴,ＡB⊥OB,BＦ∥ＯＡ(Ｏ为坐标原点).(1)求双曲线Ｃ的方程;(２)过C上一点Ｐ(x０,y０)(y0≠０)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点Ｎ．证明：当点Ｐ在C上移动时,恒为定值，并求此定值.[答案］1８.查看解析[解析] 1８.(１)设F(ｃ,０)，因为b=1,所以ｃ=,直线OB的方程为y=-x,直线ＢＦ的方程为ｙ=(x－c),解得B.又直线OA的方程为y＝x，则A,k AＢ＝=.又因为ＡB⊥ＯB,所以·=－１,解得a2=３,故双曲线Ｃ的方程为-ｙ2=1.(2)由(1)知ａ＝，则直线ｌ的方程为－y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为ｘ＝2，所以直线ｌ与ＡF的交点为M;直线l与直线x=的交点为Ｎ,则＝==·.因为Ｐ(ｘ0,y0)是Ｃ上一点,则-=1，代入上式得=·=·=,所求定值为=＝.19.(2014陕西，2017,1３分)如图,曲线Ｃ由上半椭圆C１：+=１(ａ>b>0,y≥０)和部分抛物线C2:y=-x２+1（y≤０)连接而成,C1与C2的公共点为A，B,其中Ｃ1的离心率为.(Ⅰ)求a,b的值；(Ⅱ)过点B的直线ｌ与C1,C2分别交于点Ｐ,Q(均异于点A,B）,若AＰ⊥AＱ,求直线l的方程．[答案］１9．查看解析［解析］19.(Ⅰ）在C1,C2的方程中,令y＝0，可得ｂ=1，且A(-1,0)，B(1,0)是上半椭圆C１的左,右顶点.设C1的半焦距为ｃ，由=及a２-ｃ２＝b２=１得a=2.∴a=2,ｂ=１.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知，上半椭圆C1的方程为+x2=１(y≥0)．易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=ｋ(x-１)（k≠０),代入C1的方程,整理得(k2＋４)x２-2k2x+ｋ２-４=0.（＊)设点Ｐ的坐标为(x P,y P)，∵直线l过点B,∴x=１是方程(＊)的一个根.由求根公式，得x P＝,从而yＰ=,∴点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1，－k２-２ｋ).∴=（ｋ，－４),＝-k(1,k+2).∵AP⊥ＡQ,∴·=0，即[k－4(k+2）]=0,∵ｋ≠０，∴ｋ-4(k+２)=０,解得k＝-．经检验,k=－符合题意,故直线l的方程为ｙ＝－(x-1).解法二:若设直线l的方程为ｘ＝my+1(m≠０)，比照解法一给分.２0.(2014江苏,１7,１4分)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1、Ｆ2分别是椭圆＋＝1(a>b>０）的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点Ａ,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结Ｆ1C.（１)若点C的坐标为,且BＦ2=,求椭圆的方程；(２)若Ｆ1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.［答案］20.查看解析[解析] ２０．设椭圆的焦距为2ｃ，则F1(－c,０),F２（c,0).(1)因为Ｂ(0,ｂ）,所以ＢF2==a．又BF２＝,故a=．因为点C在椭圆上，所以+=1,解得b2＝1.故所求椭圆的方程为+ｙ2=1．(2)因为B（0,b),Ｆ2(c,0)在直线AB上,所以直线AＢ的方程为＋＝1.解方程组得所以点Ａ的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F１Ｃ的斜率为＝,直线ＡB的斜率为-，且Ｆ1C⊥AB,所以·=－１.又b2=ａ２-c2,整理得ａ2＝5c2．故e2=.因此e=.２1.(2014辽宁，20，１2分)圆x2+y２=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时，切点为P(如图),双曲线C1:-＝1过点P且离心率为.(Ⅰ)求C1的方程；(Ⅱ)椭圆C2过点P且与Ｃ１有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB 为直径的圆过点P,求l的方程.[答案］21．查看解析［解析］21．(Ⅰ)设切点坐标为(x０，ｙ0）（x0>0，ｙ0>０),则切线斜率为-,切线方程为y-ｙ=-(ｘ－x0),即ｘ0x＋y0ｙ＝4，此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··=.由＋=4≥２x0ｙ0知当且仅当x0=y0=时x０y0有最大值,即S有最小值，因此点P的坐标为(,）．由题意知解得a2=1,ｂ２=2，故Ｃ1的方程为x2-＝１.(Ⅱ）由(Ⅰ）知C２的焦点坐标为（－,０）,(,0),由此设C2的方程为＋=1,其中b1>０.由P(,)在C２上，得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设ｌ的方程为x＝my＋，点A(x1,y1)，B(x2，y２）,由得（ｍ2+2)y2+2mｙ-3=０,又ｙ1,y2是方程的根，因此由x１=my1＋,ｘ2=ｍｙ2+,得因=(-ｘ１,－y1),=(-x2，－y2).由题意知·=0，所以ｘ1x２－(ｘ1+x2）+y1y2－(y1+y2)+４＝0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理得２m2－2m+４-11=０,解得m=-1或ｍ＝－+1. 因此直线l的方程为x-y－=０或x+ｙ-=0.22.(2012太原高三月考，２0,１2分)已知曲线C：x2＋=1.(Ⅰ)由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,动点P满足:=3,求P点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型；(Ⅱ)如果直线l的斜率为,且过点M(０,-２),直线l与曲线C交于A、B两点,又·=-,求曲线Ｃ的方程．[答案] 22.(Ⅰ)设Ｅ(x0，y0）,P(x,y）,则Ｆ（ｘ0,0)，∵=3,∴(ｘ-ｘ0，y）=3(ｘ-x0，y-y0)，∴代入曲线Ｃ中得x2+=1为所求的Ｐ点的轨迹方程.(2分)①当λ＝时，P点轨迹表示:以(０,0）为圆心,半径r=1的圆;(3分)②当0<λ＜时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在ｘ轴上的椭圆;(4分）③当λ>时,Ｐ点轨迹表示:中心在坐标原点，焦点在ｙ轴上的椭圆;(5分）④当λ<0时，P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线．(6分)（Ⅱ)由题设知直线ｌ的方程为y=x－２,代入曲线C中得(λ+２）ｘ２-4x＋4-λ=0，(７分)令A（x1，y１),B（ｘ2,y2),∵以上方程有两解,∴Δ=32－4(λ+2)(4-λ)＞0,且λ+２≠０,(8分）∴λ>2或λ<0且λ≠-2，x１+ｘ2=,x1·ｘ２＝.又·＝x1·x2＋（y1+２)(y2+2）=3x1·ｘ２==-.(1０分)解得λ=-１4,(11分)∴曲线C的方程是x2-=1.(１2分)２2.23.(２０1２山西大学附中高三十月月考，２１，12分)设椭圆的离心率,右焦点到直线的距离为坐标原点.(I）求椭圆的方程;（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点,证明:点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.[答案] 23．（I)由题意得，∴，∴.由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为,∴，∴∴椭圆C的方程为(II）设,直线AB的方程为则，，直线AB的方程与椭圆C的方程联立得消去得整理得则是关于的方程的两个不相等的实数根,∴,∴,整理得，∴，∴O到直线AＢ的距离即O到直线AＢ的距离定值. ……8分∴,当且仅当OA=OB时取“=”号．∴，又，∴,即弦ＡB的长度的最小值是２３.２４.（2０12广东省“六校教研协作体”高三11月联考,２0，14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为. （1)求椭圆的方程;(２)已知动直线与椭圆相交于、两点,①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②已知点,求证：为定值.[答案] 2４．(1)由题意得……2分解得,所以椭圆C的方程为．…4分（2)①设，直线方程与椭圆C的方程联立得消去，整理得,……６分则是关于的方程两个不相等的实数根,恒成立，，……7分又中点的横坐标为，所以,解得.…………9分②则,由①知，,所以, (1)…………12分．…1４分２4.-- --。