r确定了基矢量：g1、g2
其中 g1、g2 不一定是单位矢量。
P
矢量 P可表示为：
P P1g1 P2 g2
2
P g P g 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量
P P g ：哑指标
1章 矢量与张量
x2
(x1, x2 ) Einstein求和约定
计算功(功率)
可交换性： 运算次序的无关性
uv u v
(许瓦兹不等式)
对称性 不变性
矢量及其代数运算
1章 矢量与张量
➢ 矢量的乘法
矢量的外积
定义式（实体形式，几何表达） ：w u v
w uv
u v u v sin
u v v u (反交换性)
计算式（分量形式，代数表达） ：
w uv
由 dr
r xi
dxi
gidxi
可定
义协变基矢量 gi 为
gi
r xi
g1 g2 g3 g1 g2 g3 g
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量

1章 矢量与张量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
u
v
uv v
u
平行四边形法则
矢量及其代数运算
➢ 直线坐标系与矢径
笛卡尔坐标系：直角直线 费马坐标系：斜角直线
1章 矢量与张量
z r：矢径
r xi yj zk
r u 矢径 r确定了基矢量：i、 j、k
k
j i
x 笛卡尔坐标系
y 矢量u可表示为：
u uxi uy j uzk
矢量及其代数运算
v u
u
v
w 2
ux vx
uy vy
uz vz
u u
x y
vx vy
wx u u
wz
vu
uv vv
uw vw
wx wy wz uz vz wz w u w v w w
u v w v w u w u v u w v v u w w v u
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 根据几何图形直接确定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，因此正交于 g2与 g3所
确定的平面；其模的大小等于
g1 1
g1 cos
g1 g1
2 g2
2
g3
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
1章 矢量与张量
➢ 矢量的乘法
u
矢量的内积
定义式（实体形式，几何表达）：
u v u v cos
v cos
u v v u (可交换性)
计算式（分量形式，代数表达）： u cos
v
u uxi uy j uzk
v vxi vy j vzk
物理意义：
u v uxvx uyvy uzvz
矢量及其代数运算
1章 矢量与张量
➢ 矢量和矢量的模
u 、v、w u 、v 、w ➢ 矢量的加法: 平行四边形法则 uv vu (u v) w u (v w) u v u (v) u (u) 0 (a b)u au bu a(u v) au av (ab)u a(bu)
➢ 从直角直线坐标系到斜角直线坐标系(平面内)
1章 矢量与张量
x2
(x1, x2 )
x2
(x1, x2 )
r
j
i
x1
笛卡尔坐标系
r
P
g2
g1 x1
费马坐标系
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系和矢径
x2
r
g2
g1 x1
费马坐标系
1章 矢量与张量
(
x1
,
x
2
)
r
矢径
x1g1 x2 g2
一定在 v 、w 构成的平面
v
u (v w) v w
u (v w)
(u w)v (u v)w (u v) w
数形结合
矢量及其代数运算
➢ 矢量的乘法 矢量的混合积
1章 矢量与张量
u v w u v w群 u论的v 轮w换次序不变性w
ux uy uz u ux vx wx
vx vy vz uy v顺y 时w针z 轮换 wx wy wwz uzv vz wz
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
1章 矢量与张量
由于 g1正交于 g2与 g3，则 g1必定平行于 g2 g3，可
设 g1 g2 g3，利用下式：
g1 g1
1 g1 g1 (g2 g3 ) g1 g
可计算出：
g1
1 g
( g2
g3 )
g2
1 g
( g3
g1 )
2 g2
2
g3
v u
i jk ux uy uz
vx vy vz
物理意义： 计算面积
计算 v u时换行。
矢量及其代数运算
➢ 矢量的乘法 三个矢量u、v 、w 之间的运算
1章 矢量与张量
如何计算 u (v w)？
vw
观察右图，可知 v w正交于
u
v、w构成的平面，而 u (v w)
w
正交于 v w，因此，u (v w)
x2
P2 g2
P2 g2
P
x2
P2 g2
P
2
P1g1
x1
2
P1 g1
2
P2 g2
2
P1 g1
2
2
P1g1 x1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
x3
x3 g3
r
x2
x2 g2
O x1g1
x1
三维空间中的 斜角直线坐标系
1章 矢量与张量
r x1g1 x2 g2 x3 g3 xi gi
r
g2
g：协变基矢量
P
基于简化的思想，
引入逆变基矢量 g
g1 x1
费马坐标系
存在对偶关系：
g
g
0 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量
P P g P g P P g
称为矢量P的逆变分量
1章 矢量与张量
P P g
称为矢量P的协变分量
g3
1 g
( g1
g2 )
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
将 g1在 g1, g2 , g3 标架下分解：
g1 g11g1 g12 g2 g13 g3 g1 j g j
1章 矢量与张量
第1章 矢量与张量
2021年3月10日
张量的两种表达形式
实体形式
分量形式
1章 矢量与张量
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念的内涵和外 延（定量）
怎样计算？
1章 矢量与张量
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量的基本概念 ➢ 张量的代数运算 ➢ 张量的矢积