x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1

e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'

' x1
e1 x1
x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则： αi' j

cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos( e , e ) cos( e , e ) ' ' sin cos 1 2 2 2
A B ( Aij Bij )ei e j Tijei e j Τ
符合 φ ijklei e j ek el ,为一新张量
另证：

Ai ' j ' i 'i j ' j Aij Bi ' j ' i 'i j ' j Bij
Ai ' j ' Bi ' j ' i 'i j ' j ( Aij Bij )
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
故也有定义
( A2 7)
ei j k (ei e j ) ek ei (e j ek )
2
矢量混合积
(a b) c ei j k ai b j ek cr er ei j k ai b j cr δk r ei j k ai b j ck ( A2 6)
x1 x1' 1'1 1' 2 x1 于是： i ' j () x x2 2'2 2' 2 '1 x2
x1 11' 同样： x2 21'
同理
xi ij' x j'
同二维问题，可得
ij j k ik
' '
（正交性）
可试证：
i j jk i k
' '
' '
3. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系 的量称为张量
' j ' k ' l ' i 'i j ' j k ' k ijkl i ' jj' kk ' ll ' i ' j ' k ' l ' ijkl ii
自由标数目n－－张量的阶数；对于三维空间， 张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
φ ijklei e j ek el
()
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
讨论
T Tij ei e j Tk 'l' ek' el'
1
上述表达式具有不变性特征；
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e j k i ek i j ei k j ek j i e j i k
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a33
§A－2 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
基矢量e1 e2 e 3
( A2 1)
( 3个坐标方向的单位矢量）
说明
1
任意矢量可以表示为基矢量的线性组合 基矢量不是唯一的
2
1.点积
1
基矢量点积
ei e j δij ( A2 2)
如：
a ji xi bj
aki xi b j aki xi bk
wrong right
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号 定义：
1 ij 0
由定义
当i j 当i j
1 0 0 11 12 13 I 0 1 0 22 23 ij 21 0 0 1 31 32 33
2. 三维情况
ei e j ij
考虑一位置矢量
ei' e j' i' j'
x x j e j x j' e j' x j e j ei' x j' e j' ei'
x j cos(e j , ei' ) x j' j' i' xi'
xi' i' j x j
2
任意两矢量的点积
a b ai ei b j e j aib j δij aibi a j b j ( A2 3)
2.叉积
1
基矢量的叉积
ei e j ei j k ek
( A2 4 )
由于
ei δi k ek e j δ j k ek
δi1 δi 2 ei e j δ j1 δ j 2 e1 e2
表示的是以 a, b, c 为边长的平行六面体的体积。
4.并矢（并乘）
定义：
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
展开共9项，
ei e j
可视为并矢的基
ai bj 为并矢的分解系数或分量
§A－3 坐标变换 与张量的定义
1.平面笛卡儿坐标系旋转变换
x2
' x2 ' x1
A1 ij Ai 1 j A1 2 j A2 3 j A3 A2 A 3 Aj
j 1 j2 j3
ds2 dx2 dy2 dz2 dxi dxi ijdxi dx j
性质：
ij ij ii 11 22 33 3 Aij ij Aii Ajj A11 A22 A33 Aij jk Aik ij jk ik ij jk kl il
δi 3 δ j 3 er s t δi r δ j s et e3
ei j t et ei j k ek
a11 a31 a12 a32 a13 a23 ei j k a1i a2 j a3k ） a33
（比较： A a21 a22
特别地：
e1 e2 e12 k ek e123e3 e3
() ( ),ij xi x j
2
uk ,ij
uk xi x j
2
3.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi bj
j=1
j 为自由标
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
1
同一个方程中各项自由标必须相同
2
不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变
一．若干约定 哑标和自由标
1. Einstein求和约定
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的 指标，表示对该指标在它的取值范围内求和， 并称这样的指标为哑指标。如：
ai xi (i 1,2,n) n a1 x1 a2 x2 an xn i 1 ai xi
又如：
ii jj 11 22 33 x y z
T x ' 12' x1' 1 i ' j 22' x2 ' x2 '




由（）式得
1 x ' x1 1 i ' j x x2 2'
第一节 第二节 第三节
问题的提出 矢量的基本运算 坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便 分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x2 xn

记作 xi (i 1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi
' '
讨论:上式的几何意义
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
说明
1
e 2 e1'

' x1
e1 x1
x1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 e i ' i' j e j
ei ij' e j'
2
矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi ' i ' j v j vi ij' v j '
比较 :
' ' i j i j