() ( ),ij xi x j
2
uk ,ij
uk xi x j
2
3.自由标 定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi bj
j=1
j 为自由标
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
1
同一个方程中各项自由标必须相同
2
不能改变某一项的自由标，但所有项的 自由标可以改变

Ti ' j '
i i j j Tij
' '
符合 i' j' k' l' i' i j' j k' k ijkl ,为一新张量
交换律：
A B B A
结合律：
A ( B C ) ( A B) C
2.矢量与张量的点积
T Tij ei e j
x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1

e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'

' x1
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则：i' j α

cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos(e2' , e1 ) cos(e2' , e2 ) sin cos
A B ( Aij Bij )ei e j Tijei e j Τ
符合 φ ijklei e j ek el ,为一新张量
另证：

Ai ' j ' i 'i j ' j Aij Bi ' j ' i 'i j ' j Bij
Ai ' j ' Bi ' j ' i 'i j ' j ( Aij Bij )
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定i j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
表示的是以 a, b, c 为边长的平行六面体的体积。
4.并矢（并乘）
定义：
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
展开共9项，
ei e j
可视为并矢的基
ai bj 为并矢的分解系数或分量
§A－3 坐标变换 与张量的定义
1.平面笛卡儿坐标系旋转变换
x2
' x2 ' x1
如：
a ji xi bj
aki xi b j aki xi bk
wrong right
二．克罗内克（Kronecker-δ）符号 定义：
1 ij 0
由定义
当i j 当i j
1 0 0 11 12 13 I 0 1 0 21 22 23 ij 0 0 1 31 32 33
x1' 1'1 1' 2 x1 x1 () 于是： x 2 '1 2 ' 2 x2 i ' j x2 2'
x1 11' 同样： x2 21'
2. 三维情况
ei e j ij
考虑一位置矢量
ei' e j' i' j'
x x j e j x j' e j' x j e j ei' x j' e j' ei'
x j cos(e j , ei' ) x j' j' i' xi'
xi' i' j x j
自由标数目n－－张量的阶数；对于三维空间， 张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
φ ijklei e j ek el
()
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
讨论
T Tij ei e j Tk 'l' ek' el'
1
上述表达式具有不变性特征；
也可以是上标，如 xi 指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3
定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标
xi（ i=1,2,3）～ x1，x2，x3 ～ x, y, z ui（ i=1,2,3）～ u1，u2，u3～ u, v, w
11 12 13 x xy xz ～ ij (i, j 1,2,3)～ 21 22 23 y yz yx 31 32 33 zx zy z
2
3
张量分量 Tij 与坐标系有关；
Tij 在坐标变换时遵循相同的变换规律
§A－4 张量代数
以二阶张量为例说明 1. 加减法 只有同阶张量才能加减，仍为同阶张量 如：张量 A,B A Aijei e j Ai' j' ei' e j'
B Bijei e j Bi' j' ei' e j'
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e j k i ek i j ei k j ek j i e j i k
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a33
一．若干约定 哑标和自由标
1. Einstein求和约定
凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的 指标，表示对该指标在它的取值范围内求和， 并称这样的指标为哑指标。如：
ai xi (i 1,2,n) n a1 x1 a2 x2 an xn i 1 ai xi
又如：
ii jj 11 22 33 x y z
2
任意两矢量的点积
a b ai ei b j e j aib j δij aibi a j b j ( A2 3)
2.叉积
1
基矢量的叉积
ei e j ei j k ek
( A2 4 )
由于
ei δi k ek e j δ j k ek
δi1 δi 2 ei e j δ j1 δ j 2 e1 e2
同理
xi ij' x j'
同二维问题，可得
ij j k ik
' '
（正交性）
可试证：
i j jk i k
' '
' '
3. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系 的量称为张量
i ' j 'k 'l ' i 'i j ' j k 'k ijkl ijkl ii' jj' kk ' ll' i ' j 'k 'l '
故也有定义
( A2 7)
ei j k (ei e j ) ek ei (e j ek )
2
矢量混合积
(a b) c ei j k ai b j ek cr er ei j k ai b j cr δk r ei j k ai b j ck ( A2 6)
第一节 第二节 第三节
问题的提出 矢量的基本运算 坐标变换及张量的定义
自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便 分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长
引入张量方法
§A－1 指标符号
x1 , x2 xn
记作 xi (i 1,2,n)
下标符号 i 称为指标；n 为维数
指标 i 可以是下标，如 xi
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
ei j k a1i a2 j a3k ei j k ai1a j 2ak 3
( A1 7 )
ｅ-δ恒等式
ek i j ek s t i s j t j s i t
由此得
( A1 8)
ei j k ei j s jj ks js kj 3 ks ks 2 k s ei j k ei j k jj kk jk kj 3 3 jj 6
A1 ij Ai 1 j A1 2 j A2 3 j A3 A2 A 3 Aj
j 1 j2 j3
ds2 dx2 dy2 dz2 dxi dxi ijdxi dx j
性质：
ij ij ii 11 22 33 3 Aij ij Aii Ajj A11 A22 A33 Aij jk Aik ij jk ik ij jk kl il
2
两个任意矢量的叉积
a b ai ei b j e j aib j ei e j aib j ei j k ek ei j k aib j ek c ( A2 5)