这里的t , .
x a sin , 例如：圆 y 0, 绕z轴旋转一周所得的球面 方程 z a cos
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x a sin cos x a sin cos z a cos
8.4.5二次曲面
三元二次方程 F x, y, z 0所表示的曲面称为二次 曲面， 而把平面称为一次曲面 .
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以上表明作为点的几何轨迹的曲面都可以 用它的点的坐标方程来表示.反之，变量x,y,z 之间的方程通常表示一个曲面，因此，在空间 解析几何中关于曲面的研究，主要有下列两个 基本问题：
（1）已知一空间曲面，建立其方程； （2）已知坐标x,y,z之间的一个方程， 研究这个方程表示的曲面形状。
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练习： 8-4 题1； 题3
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六 双叶双曲面
x y z 2 1 2 2 a b c
2 2 2
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作业：8-4 题2，题6，题9（1）（3）
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2 2 2
表示球面 .
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8.4.2 旋转曲面
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例题3. 将下列各曲线绕对应的 轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程 .
x2 z 2 1xoz面上的双曲线 2 2 1分别绕x轴 a c 和z轴；
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例题4 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周 所得的旋转曲面叫圆锥 面，两直线的交点为圆
下面我们一块来看看常见的二次曲面的标准方程.
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x2 z2 椭球面是xoz面上的椭圆 2 2 1绕z轴旋转一周， a b x2 y2 z2 所得的曲面为旋转椭球 面 2 1, 2 a c b x2 y2 z2 再沿着y轴方向伸缩 倍，得到 2 2 2 1. a a b c
8.4空间曲面及其方程
8.4.1 曲面方程的概念； 8.4.2旋转曲面； 8.4.3柱面； 8.4.4空间曲面的参数方程； 8.4.5二次曲面
8.4.1曲面方程的概念
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例题1 设有点A1,2,1和B3,1,4, 求到A, B距离相等的 点的轨迹方程。
解： 由题意知，线段AB的垂直平分面为所 求点的轨迹。
锥面的顶点，两直线的 夹角 0 叫圆锥 2 面的半顶角 .试建立顶点在坐标原点 O，旋转轴为
z轴，半顶角为 的圆锥面方程 .
z
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练习： 8-4 题4 ，题5
8-4 题4答案： 解：z 2 5 x绕着x轴旋转一周， x没有发生变化， 得到的旋转曲面方程为 即y 2 z 2 5 x.
设P（x,y,z)为所求平面上任意 一点，由于 AP BP
x 1 y 2 z 1
2 2 2
x 32 y 12 z 42 .
化简整理得 2 x y 5 z 10 0.
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例题2 求到定点M 0 x0 , y0 , z0 为定长R的点的轨迹方程 .
8 - 4题1答案： 设P为所求平面上的一点， 则有 PP 1 PP 2， 得
x 22 y 32 z 12

x 42 y 52 z 62 ,
化简整理得 4 x 4 y 10z 63 0.
8 - 4题3 原方程x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 0可化为 x 2 2 x 1 y 2 4 y 4 z 2 2 z 1 6, 即 x 1 y 2 z 1 6,

y z
2
2

2
5 x,
题5答案：
圆x 2 z 2 9绕z轴旋转一周， z没有发生变化，
得到的旋转曲面方程为
x y
2
2
z
2
2
9,
即x 2 y 2 z 2 9.
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8.4.3 柱面
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8.4.4空间曲面的参数方程
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曲面的参数方程通常含 有两个参数的方程， 形如 y y s, t z z s, t . x xs, t