解 设 M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
面方程为
z
若取
o
y
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c x
半径随c的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
二 几种常见曲面
z 引例. 分析方程 x2y2R2表示怎样的曲面 .
y2 b2
x2 a2
1
双曲柱面 // z 轴
x2 2pz 抛物柱面 // y 轴
2 旋转面
定义 以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
C o
y
旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
即x2 a2
by22
cz22
1
例 3求 与 原 点 O 及 M 0 (2 ,3 ,4 )的 距 离 之 比 为 1 :2 的
点 的 全 体 所 组 成 的 曲 面 方 程 .
解 设 M ( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO| 1, | MM0 | 2
x2y2z2
1,
x22y32z42 2
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
的圆锥面方程.
z
解: 在yoz面上直线L 的方程为
zycot
x2y2R2 表示圆柱面
1 柱面
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
C
的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
l
一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
o
y
x
双曲柱面
z
x2 z2
a2 b2 1
o
y
x
抛物柱面
z
y2 2px
o
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F ( x, y) 0，在空间直
角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准
线为 xoy面上曲线C .
（其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x 轴
那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
曲面上的点(x,y,z)的坐标可以表示为两个 变量u,v的函数，即
x x(u,v)
y
y(u,v)
z z ( u , v )
也是曲面的方程，称为曲面的参数方程，其 中u,v为参数。
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
得方程 fx 2 y 2 ,z 0 ,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
fy , x 2 z 2 0 .
例
写出xoy面上的曲线by22
z2 c2
x
0
.
绕 z轴
x
z o
C
y
旋转面的方程 z
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
S
z1 z
| y1 | MP x2 y2
S： f( x2y2,z)0
x
P M
z
o
N (0, y1,z1) .
z1 C
y1
y
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
1
绕 y 轴旋转的曲面方程
及绕z 轴旋转的旋转曲面方。程
绕
y 轴的曲面方程面方程为：
x2 b2
y2
cz22
1
3 锥面
以直线通过一定点，
z
一条固定曲线移动所
准线
产生的曲面成为锥面。
动直线 母线
定点
顶点
顶点 0
y
x
固定线 准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。 顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
Mar. 8 Wed. §6 曲面及其方程
曲面方程的概念 几种常见曲面：柱面，旋转曲面 二次曲面
一 曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；
M
解:在 xoy 面上，x2y2R2 表示圆C, C o
在圆C上任取一点 M 1(x,y,0),过此点作
M1
y
x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M(x,y,z)
l
的坐标也满足方程 x2y2R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
和
为参数，则球
z
x Rsin cos .
y
R
sin
sin
z Rcos
x
x
R
0
M(R,,)
y
N
例2求曲面 :zxycbacssoiinns.scions,,002的
一般方程；
解 x s ic n o ,ys s ic n o ,z sc os
a
b
c
ax22
y2 b2
cz22
s2 ic n 2 o ss 2 is n 2 i n c2 o1s
所求方程为 x2 2y12 z4 211 . 6
3
3 9
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
z
用平面z c去截图形得圆：
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面 z c上下移动时，得到
c
一系列圆
S
y
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x= 0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
柱面举例
z
z
y2 2x
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
yx
椭圆柱面 z
x2 y2 1
a2 b2