第五章 平均指标
第二节 算数平均数
三、算数平均数的数学性质
⒈变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：
Σ(x x) 0
( x x ) f 0
⒉如果对每个标志值加或减一个任意数A，则算术平均数 也要增加或减少那个A值 ( x A) x nA x A n n n ( x A) x A n
1 1 1 1 4 2 4 6 8 1 1 1 1 4 2 4 6 8
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
一、简单调和平均数 ——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始 资料的情况
m XH 1 1 1 1 X1 X 2 Xm X
调和平均数的应用
m 1 Xm
解：
XH
9710 700 1400 10 14
9710 件 12.1375 800
即该企业该日全部工人的平均日产量为 12.1375 件。
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
三、由相对数计算平均数
mi 比值 X i fi
X
m f
※ 注意区分算术平均数与强度相对数
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
二、算数平均数的计算方法
（一）简单算术平均数 ——适用于总体资料未经分组 整理、尚为原始资料的情况
X 1 X 2 X N X N
X
i 1
N
i
N
式中： X 为算术平均数; N 为总体单位总数； X i 为第 i个 单位的标志值。
H
X
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
调和平均数的应用
【例】 某企业某日工人的日产量资料如下： 日产量（件） 各组工人日总产量（件）
X
10 11 12 13 14 合计
m
700 1 100 4 560 1 950 1 400 9 710
计算该企业该日全部工人的平均日产量。
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
X
i 1 m i 1
m
i
fi
i
f
10 70 14 100 70 100
9710 12.1375 (件） 800
若上述资料为组距数列，则应取各组的组 说 中值作为该组的代表值用于计算；此时求 明 得的算术平均数只是其真值的近似值。
第五章 平均指标
分析：
式中： X H 为调和平均数; m为变量值 X i 为第 i 个变量值。 的个数；
m
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
二、加权调和平均数 ——适用于总体资料经过分组整理形成变量数 列的情况
XH
m m1 m2 mm mm 1 m1 m2 m X X1 X 2 Xm
四、算数平均数的特殊应用
（三）是非标志平均数 是非标志 指总体中全部单位只具有“是”或“否”、 “有”或“无”两种表现形式的标志，又叫交 为研究是非标志总体的数量特征，令 分组 具有某一属性 不具有某一属性 合计 单位数
N1 N0
N
替标志。
变量值 1 0 —
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
四、算数平均数的特殊应用
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
三、算数平均数的数学性质
3. 如对每个标志值乘以或除以一个任意值A，则平均数也 要乘以或除以那个A值。 乘以A：简单算术平均数：
Ax x /A n
x A A 除以A：简单算术平均数： x n
4. 变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：
计算该公司该季度的平均计划完成程度。
第五章 平均指标计划完成 实际产值m X 分析： 第三节 调和平均数 计划产值 f 程度 三、由相对数计算平均数
【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：
计划完成程度 组中值 企业数 计划产值 （﹪） （﹪） X （个） （万元） f 85 2 800 90以下 Xf 0.85 95 8003 2 500 90～100 1.15 4400 100～110 105 10 17 200 f 8003 4400 115 4 400 110以上 18 24 900 合计 26175 —
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
二、算数平均数的计算方法
（二）加权算术平均数 —经过分组整理形成的变量数列
X 1 f1 X 2 f 2 X m f m X f1 f 2 f m
X Xf
X
i 1 m i 1
m
i
fi
i
f

f X
f
f
式中： X 为算术平均数; f i 为第 i 组的次数；m 为组数；
2005年 1800 750 450 3000
2006年 2400 640 160 3200
2005年 1800 1500 1350 4650
2006年 2400 1280 480 4160
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
Xf 解： 2005 年产品平均等级 f Xf 2006 年产品平均等级 f 4650 1.55 3000 4160 1.3 3200
（三）是非标志平均数 【例】某厂某月份生产了400件产品，其中合格品380件， 不合格品20件。求产品质量分布的集中趋势。
己知N 400件，N1 380件，N 0 20件， N0 N1 380 20 则P 95 ﹪，Q 5﹪， N 400 N 400 所以有： X P P 0.95
X
【例2】
X
i 1 m
m
i
fi
决定平均数 的变动范围

i 1
fi
起到权衡轻 重的作用
成绩（分）
人数（人） 甲班 乙班 丙班
60
100
39
1
1
39
50
50
平均成绩
61
99
80
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
【例3】某班统计学成绩资料如下，计算平均成绩：
各组学 生人数 fi 8 20 24 各组总成绩 组中值xi fi*xi 55 65 75 440 1300 1800
X i 为第i 组的标志值或组中值。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
【例1】某企业某日工人的日产量资料如下：
日产量（件）
X
工人人数（人）
f
10 11 12 13 14 合计
70 100 380 150 100 800
计算该企业该日全部工人的平均日产量。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
解：
X
第一节 平均指标的基本理论
四、平均指标的种类
㈠ ㈡ ㈢ ㈣ ㈤
算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数
数值平均数
位置平均数
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
一、算数平均数的基本形式
总体标志总量 平均数 总体单位总数
例：
算术
直 接 承 担 者
工资总额 平均工资 职工人数 总成本 平均成本 总产量
第五章 平均指标
第一节 平均指标的基本理论
二、作用
1、利用平均指标可以将同类现象的一般水平在不同 的空间和时间上进行比较。
2、利用平均指标可以分析现象之间的依存关系以及 估计、推算其他有关指标。 3、利用平均指标可以反映现象总体的客观规定性。
三、特点
1、总体同质性 2、数量抽象性 3、一般代表性
第五章 平均指标
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
二、算数平均数的计算方法
【例】 某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、
480元、750元、440元，求平均每人日销售额。 解：平均每人日销售额为：
X X N
520 600 480 750 440 5 2790 558元 5
2 ( x x ) 最小值
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
三、算数平均数的数学性质 5. 两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各 变量平均数的代数和。
(X Y) X Y
6. 两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变 量平均数的乘积
x y x y
第五章 平均指标
合计
—
—
100
450
420
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
解：
Xf 甲企业平均分 f Xf 乙企业平均分 f 450 4.5(分) 100 420 4.2(分) 100
计算结果表明，两企业产品综合质量评判，平均说来 甲企业略高于乙企业。
第五章 平均指标
第二节 算数平均数
高等学校应用型特色规划教材
统计学
statistics清Leabharlann 大学出版社第五章 平均指标
【学习目标】通过本章的学习和习题演算，掌握平均指标 的概念、特点和作用；算术平均数、调和平均数、几何平均数、 中位数与众数的计算方法和应用。了解平均指标的计算原则和 分布特征。 第一节 平均指标的基本理论 第二节 算术平均数 第三节 调和平均数 第四节 几何平均数 第五节 位置平均数 第六节 平均指标的应用

Xf f

m 1 Xm
己知 X、m， 采用加权调和 平均数公式
己知 m、f ，采用基本 平均数公式
己知 X、f ， 采用加权算术 平均数公式
第五章 平均指标
第三节 调和平均数
三、由相对数计算平均数
【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：