切线方程的求法
●基础知识总结和逻辑关系
一、 函数的单调性
求可导函数单调区间的一般步骤和方法:
1) 确定函数的()f x 的定义区间；
2) 求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，
然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；
4) 确定'()f x 在各个区间内的符号，由'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区
间内的单调性.
二、 函数的极值
求函数的极值的三个基本步骤
1) 求导数'()f x ；
2) 求方程'()0f x =的所有实数根；
3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()
f x 在这个根处取得极大（小）值.
三、 求函数最值
1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值；
2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就
是最小值.
四利用导数证明不等式
1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式
我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：
① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）
区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.
② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目
的.
2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.
导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.
●解题方法总结和题型归类
1导数的几何意义及切线方程的求法
1）曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
2）解决方案：解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.
【题】求过曲线cos y x =上点1
(,)32
P π且与在这点的切线垂直的直线方程.
【答案】：22032
x π--+= 【难度】*
【点评】
【题】已知曲线3:2C y x x =+，按下列条件求切线方程：
（1）切线过曲线C 上一点(1,3)；
（2）切线过曲线C 外一点(1,2)；
（3）切线的斜率为2.
【答案】：（1）520x y --=或11410x y -+=
（2）20x y -=或354270x y --=
（3）20x y -=
【难度】**
【点评】求切线方程要讨论过点是否为切点，（1）如果是切点，利用000()()y y f x x x '-=-求出切线方程。

（2）不是切点，①设出切点11(,)M x y ，②写出过切点的切线方程111()()y y f x x x '-=-，③将点00(,)P x y 带入，求出x1，④讲x1的值带入，
11
1()()y y f x x x '-=-可得到切线方程。

【题】曲线313y x x =+在点4(1,)3
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A. 19
B. 29
C. 13
D. 23
【答案】：A
【难度】**
【题】.点P 在曲线323
y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）
A. [0,]2π
B. 3[0,)[,)24πππ
C. 3[,)4
ππ D. 3(,]24
ππ 【答案】: B
【难度】**
【题】已知曲线33y x x =-，分别求满足下述条件的的切线方程。

（1）在点(0,0)P 处；
（2）过点(0,16)M -；
（3）过点(2,2)N 。

【答案】：（1）3y x =-
（2）9160x y --=
（3）2y =
【难度】**
【题】.设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4
π
，则点P 横坐标的取值范围是( ) A. 1[1,]2
-- B. [1,0]- C. [0,1] D. 1[,1]2
【答案】: A
【难度】**
【题】设()f x 是偶函数,若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线
的斜率为1,则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜
率为_________.
【答案】：1-
【难度】*
【题】设P 是函数ln y x =图像上的动点，则点P 到直线y x =的距离的最小值为________.
【答案】：2
【难度】**
【题】设函数2()f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+，若曲线
()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，
且在点P 处有相同的切线42y x =+，求a ，b ，c ，d 的值.
【答案】：a =4,b =2,c =2,d =2
【难度】**
【题】已知函数3()f x x =的切线的斜率等于3，则切线有
( )
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D.不确定
【答案】: B
【难度】**
【题】设函数()ln f x x =，当120x x <<，下列结论正确的是
( )
A. 12112()()1f x f x x x x ->-
B. 12212
()()1f x f x x x x ->- C. 12112
()()1f x f x x x x +<+ D. 以上都不对 【答案】: A
【难度】**
【题】若函数3211()(1)(2)332
f x x f x f x ''=+-+，则()f x 在点(0,(0))f 处切线的倾斜角为( )
A. 4π
B. 3π
C. 23π
D. 34
π 【答案】: D
【难度】***
【题】求曲线ln y x =在点(,1)M e 处的切线的斜率和切线的方程。

【答案】：1y x e
= 【难度】**
【题】（1）求曲线32y x x =-在点(1,1)A -处的切线方程
（2）求过曲线32y x x =-上的点(1,1)A -处的切线方程
【答案】:(1)20x y --=,
(2) 20x y --=或5410x y +-=
【难度】***
【题】在32()3610f x x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程为( )
A. 3110x y +-=
B. 360x y -+=
C. 3110x y --=
D. 3110x y --=
【答案】: D
【难度】**
【题】已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(1,3)，则b 的值为（）
A .3
B .3-
C .5
D .5-
【答案】:A
【难度】**
【题】曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为（）
A. 34y x =-
B. 32y x =-+
C. 43y x =-+
D. 45y x =-
【答案】: B
【难度】** 【题】已知曲线2
3ln 4
x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 12
【答案】: A
【难度】**
【题】与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是( )
A. 230x y -+=
B. 230x y --=
C.210x y -+=
D. 210x y --=
【答案】: D
【难度】**
【题】求过点(2,0)且与曲线1y x
=相切的直线方程. 【答案】:20x y +-=
【难度】**
【题】已知函数2,1()(2),1
ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩其图像在点(1,(1))
f 处的切线方程为2+1y =x ，则它在点(3,(3))f --处的切线方程为()
A. 23y x =--
B. 23y x =-+
C. 23y x =-
D. 23y x =+
【答案】: A
【难度】***。