用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。

如直线0=y 与抛物线2x y =只有一个交点，0=y 是2x y =的切线，但0=x 与抛物线2x y =也只有一个交点，但0=x 却不是2x y =的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。

而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。

切线的定义：设0m 是曲线)(x f y =上一定点，m 是该曲线上的一动点，从而有割线m m 0，令m 沿着曲线无限趋近于0m ，则割线m m 0的极限位置就是曲线)(x f y =在0m 的切线（如果极限存在的话）。

这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的（用于讨论圆的切线时），用这一定义也容易证明0=y 是2x y =的切线，而0=x 不是2x y =的切线，这一切线定义可用于任何曲线)(x f y =。

导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点x 的切线斜率。

故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的许多问题。

例6 求曲线nx y 1=在2=x 时的切线方程。

解：xy 1=' ∴当2=x 时，21=y 又 当2=x 时，21n y =∴当2=x 时，所求的切线方程为：)2(2121-=-x n y 即022122=+--n y x反思：由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线)(x f y =的切线定义都难得给出，更别说讨论与)(x f y =的切线有关的问题了。

例7 已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值，过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。

解：由例4，曲线方程为x x x f 3)(3-=，点)16,0(A 不在曲线上。

设切点为),,(00y x M 则点M 的坐标满足03003x x y -=，由于)1(3)(200-='x x f ，故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=-.注意到点)16,0(A 在切线上,有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=--化简得820-=x ,解得20-=x .因此,切点为)2,2(--M ,切线方程为0169=+-y x .2200222222000x x 22000222020y x P(x ,y )1P b ab bxy a +x y a a a +x bx P(x ,y ) y a a +x bx y y x x a a +x b x x x a y ''∴＝00例10：设是双曲线－＝上一点，求过点的切线方程。

解；考虑上半支双曲线的方程为＝，＝则处的切线斜率为＝切线方程为－＝（－）＝（－）即0022y y x x 1b aP －＝当在下半支时，也可得到同样的方程。

要点：1.导数是如何定义 2.如何求曲线)(x f y =在点),(o o y x 处的切线方程与法线方程。

第三章 导数与微分§ 3.1 导数的概念由于机器制造，远洋航海，天象观测等大量实际问题给数学家提出了许多课题。

其中求曲边梯形面积的研究导致了积分学的产生，而求变速运动的瞬时速度，求曲线上一点的切线，求函数的极大值和极小值等问题的研究导致了微分学的产生。

历史上，Newton 从瞬时速度出发，Leibniz 从曲线的切线出发，分别给出导数的概念，并明确给出计算导数的步骤，而且建立了有关积分与微分是互为逆运算的完整理论。

一. 导数的概念1. 平均变化率 设在点a x =处自变量改变)0(≠∆∆x x ，函数()x f y =相应地改变()()a f x a f y -∆+=∆, 则平均变化率是x y ∆∆()()xa f x a f ∆-∆+=.图3.1不难看出，平均变化率的几何解释是连续曲线上两点的割线的斜率(0→∆x 如何？) 2. 瞬时变化率当物体做变速直线运动时，它的速度随时间而确定，此时平均变化率ts∆∆表示时刻从0t 到t t ∆+0这一段时间内的平均速度v ，若设路程s 是时间t 的函数)(t f s =，则()()tt f t t f t s v ∆-∆+=∆∆=00，当t ∆很小时，可以用-v 近似地表示物体在时刻0t 的速度，t ∆愈小，近似的程度就愈好。

当0→∆t 时，如果极限()()t t f t t f t s o t t ∆-∆+=∆∆→∆→∆000lim lim存在，则称此极限为物体在时刻0t 的瞬时速度，即()()tt f t t f t sv o t ot t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆=00lim lim|0. 例 1. 已知自由落体的运动方程为 221gt s =.求（1）： 落体从0t 到t t ∆+0这段时间内的平均速度 v .（2）：落体在0t t =时的瞬时速度。

解 （1） 221gt s =，∴ (),21200gt t s =()200)(21t t g t t s ∆+=∆+.()()20202020200021)(212121)(21gt t g t gt gt gt t t g t s t t s s -∆+∆+=-∆+=-∆+=∆∴ 20)(21t g t gt s ∆+∆=∆∴. 平均速度 t g gt t s v ∆+=∆∆=210. （2）：落体在0t t =时的瞬时速度。

瞬时速度 000021lim lim |0gt t g gt t s v t t tt =⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆∆=→∆→∆=. 3. 切线的斜率设有一连续函数 ()x f y =，则平均变化率xy∆∆是指曲线()x f y =上的两点的割线的斜率。

即割线PQ 的斜率是()xa f x a f x y ∆-∆+=∆∆)(. 当 0→∆x 时, 显然, 割线PQ 越来越趋于曲线()x f y =在点()()a f a P ,处的切线PT .即切线PT 是割线PQ 的极限位置，平均变化率的极限值（如果存在）x y x ∆∆→∆0lim 则是曲线()x f y =在点()()a f a P ,的切线PT 的斜率。