也称向量b可由向量组 a 1 ,a 2 , a s,线性表示。
例如 对向量 a 1= (0T ,,a 1 2= ) (1T ,,1 a 3= )(-T 2 , ,= 4 (b3 )T,
有 b=-4 a 1+ 5 a 2 a 3及 还有 b=1a 11+0a2-2 3a3
b =2 a 1+ 3 a 2+ 0 a 3
（ 1） 若 对 ab ,V,则 abV （ 2） 若 对 aV,kR, 则 kaV
就称 V是Rn的子空间
解析几何
空间
(n3)
线性代数
坐
点空间：点的集合
向量空间：向量的集合
标
几何形象： 空间
代数形象： 向量空
直线、曲线、空间 平面或曲面
系
间中的平面
( x ,y ,z ) a b x c y d z r ( x ,y , z ) T a b x c y d z
a1
或a
aan2 （ 称列向量）也a 记 (a 1 ,a 2 , 作 a n )T
其 a i称 中 a 为 的 i( i 向 1 第 ,2 , n ) 个 量分
例如
(1 , 2 , , n ) n维行向量
第2个分量 第1个分量
第n个分量
解析几何
向量
(n3)
定义4.3 分量全(为 0,0,0 零 )称的 为向 零
记 0 （ 作 0 ， 0 ， ， 0 ）
定义4.4 设 a ( a 1 , a 2 , a n ) T , b ( b 1 ， b 2 ， b n ) T
规定 a与b和ab为：
a b ( a 1 b 1 ,a 2 b 2 , a n b n ) T
P(x,y,z)
一一对应
r(x,y,z)T
例 4 ． 1 V (x ,0 ,0 )Tx R 是 R 3 的子空
例4． 2 V(0,0,0,0)T}是R4的子空间，通
为零子空间。
例 4 ． 3V (x ,0 ,1 )Tx R 不 R 3 的 是子
( a , 0 , 1 ) ( b , 0 , 1 ) ( a b , 0 , 2 ) V
第四章 向量空间
n维向量空间 向量组的线性相关性 向量组的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
第一节 n维向量空间
n维向量的概念与运算 n维向量空间
向量组的线性组合与线性表示
一、n 维向量的概念与运算
定义4.1
n个实a数 1,a2,an 组成的有序数 称 为 实 数 域 n维 上向 的量 。
记作 a(a： 1,a2,an)（称行
即V对向量的加法不封闭。
例 4 ． 4V (0 ,x2,x3, xn)Txi R ,i2 ,3 , n
是 R n 的 子 空 间 。
三、向量组的线性组合与线性表示
定义4.8 由若干个同维数的列向量（或行向量）
所组成的集合叫做向量组。
设 a 1 ,a 2 , a s,是n维向量组，k1,k2,ks
- 3a1+5a2 a3=(1,4,7 -,7)T,
就是这3个向量 a1,a2,a3 的一个线性组合。
设 ba 1,a 2, a s, 都是 n 维向量,如果对向量b
存在一组实数 k1,k2,ks 使得 k 1 a 1 k 2 a 2 k s a s b
则称向量b是向量组 a 1 ,a 2 , a s,的线性组合，
运算规律 由上述定义，n维 对向 任 a量 b,意 c,及的实k,数 l， 向量加法与数足乘下运列算八满条性质
(1) abba (2 )(a b ) c a (b c ) (3) a0a (4) a(a)0 (5) 1aa (6) k(la )(k)a l (7) k(ab)k akb (8) (kl)ak ala
am1 am2 amn
xn bm
特别地 当b为零向量时A， X即 0，称m 为个 方 程 n个 未 知 量 的 齐 次程线组性。方
二、n维向量空间
定义4.6 实数域上的 n维向量全体，当定义了
上述向量的加法及数乘向量运算之后，就称其为
为实数域上的n维向量空间。记作 R n
定义4.7 设V是Rn的一个非空子集，满如足果
是一组实数，则 k 1 a 1 称 k 2 a 2 k s a s 是向 a1,a 量 2,as组 的线性组合。 例如向量
a 1 = ( 4 , 1 , 3 ,2 ) - T , 2 = ( 1 , 2 ,3 , a - 2 ) T , 3 = ( 1 , 9 , 1 , a 6 3 ) - T ,
有了矩阵和向量的定义后，按矩阵的乘法，形如
a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AXb其中 Aa21
a22
a2n,
Xx2,bb2
定义4.5
特别地
设a (a1,a2, an)T ,kR， 规 定 数 k与 向 量 a的 数 乘 为 ：
ka (ka1, ka2, kaan)T称 其 为 a的 负 向 量a 。 (b此 )写外 作 ab称 之 为 a与b的 差 .
注意
向量的加减法、数乘运算都按照矩阵的运算法则 进行运算
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a (x ,y ,z ,, ,)
定义4.2
设 n 维 a ( 向 a 1 ,a 2 , 量 a n ) T ,
b (b 1 , b 2 , b n )T
则当且 ai b 仅 （ i i当 1,2,n）,时 称向 a与 量 b相等 记作 ， ab
所以 b是a1, a2,a3的线性组合。
而且表示的方法不惟一
小结
线性代数
坐
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意
标
平行移动的有向线段
代数形象： 向量的 坐标表示式
系
a T (a 1 ,a 2 , ,a n )
n3时，n维向量没有直观的几何形象．
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
()
( 2 2)