第1章集合与函数概念考纲展示考情汇总备考指导函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质.2017年1月T2，2017年1月T14，2018年1月T32018年1月T142019年1月T32019年1月T192020年1月T52020年1月T7集合的基本运算1．集合的概念与性质集合是指定的某些对象的全体．集合中元素的特性有：确定性(集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可)、互异性(集合中的元素应该是互不相同的)、无序性(集合中元素的排列是无序的)．元素和集合的关系是属于或不属于关系．表示集合的方法要掌握字母表示法、列举法、描述法及Venn图法．根据元素个数的多少集合可分为：有限集、无限集．2．集合间的基本关系及基本运算关系或运算自然语言符号语言图形语言A⊆B(或B⊇A)集合A中任意一个元素都是集合B中的元素.A⊆B(或B⊇A) ⇔(x∈A⇒x∈B)A∩B由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合.A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合.A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A已知全集U，集合A⊆U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A相对于U的补集.∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}1．(2018·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|－1≤x<2}，则M∩N＝( ) A．{0,1,2} B．{－1,0,1}C．M D．NB[M∩N＝{－1,0,1}，故选B．]2．(2019·1月广东学考)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{－2，0,2}，则A∪B＝( ) A．{0,2} B．{－2,4}C．[0,2] D．{－2,0,2,4}D[A∪B＝{－2,0,2,4}．]3．(2020·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∪N＝( ) A．M B．NC．{－1,0,1,2,3} D．{1,2}C[∵M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，∴M∪N＝{－1,0,1,2,3}．故选C．]集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．[最新模拟快练]1．(2020·广东学考模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，故选A．]2．(2019·深圳学考模拟题)已知A＝{2,4,5}，B＝{3,5,7}，则A∪B＝( )A．{5} B．{2,4,5}C．{3,5,7} D．{2,3,4,5,7}D[A∪B＝{2,3,4,5,7}，故选D．]3．(2019·佛山高一期中) 设集合A＝{x|－2＜x＜7 }，B＝{x|x＞1，x∈N}，则A∩B 的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6C[A∩B＝{x|－2＜x＜7，且x＞1，x∈N} ，即A∩B＝{2,3,4,5,6}，因此，A与B的交集中含有5个元素．]4．(2018·深圳市高一月考)若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( ) A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅A[因2x>0，而x2≥0，∴B A．]5．(2018·东莞市高一期末)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B 等于( )A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅C[A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．]6．(2018·佛山市高一期末)已知全集U＝R，则正确表示集合A＝{－1,0,1}和B＝{x|x2＝x}关系的韦恩图是( )B[∵集合B＝{x|x2＝x}，∴集合B＝{0,1}，∵集合A＝{－1,0,1}，∴B⊆A．]7．(2019·广州高一月考)已知集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|x<1}，则A∪B＝( ) A．(－2,1) B．(－2,3)C．(－∞，1) D．(－∞，3)D[∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<1}，∴A∪B＝{x|x<3}＝(－∞，3)．选D．]8．(2019·潮州高一期末)已知集合A＝{3,4,5,6}，B＝{a}，若A∩B＝{6}，则a＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6D [∵A ∩B ＝{6}，∴6∈B ，∴a ＝6.]函数及其表示1．函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．2．函数的三要素定义域、值域和对应关系． 3．函数的表示解析法、列表法、图象法．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1，x ≥02x，x <0，设f (0)＝a ，则f (a )＝( )A ．－2B ．－1C ．12D ．0C [∵a ＝f (0)＝03－1＝－1，∴f (a )＝f (－1)＝2－1＝12，故选C ．]2．(2019·1月广东学考)函数y ＝log 3(x ＋2)的定义域为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)A [x ＋2>0，x >－2.]3．(2020·1月广东学考)函数f (x )＝x 2－4x 的定义域是( ) A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪ [4，＋∞)D [要使f (x )有意义，则x 2－4x ≥0，解得x ≤0或x ≥4， ∴f (x )的定义域是(－∞，0]∪ [4，＋∞)．故选D ．]1.常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R . (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．1．(2019·揭阳学考模拟题)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0]∪[1，＋∞) C ．(0,1)D ．[0,1]A [由题意得：x 2－x >0，解得：x >1或x <0，故函数的定义域是(－∞，0)∪(1，＋∞)．]2．(2019·汕头学考模拟题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤02x ＋1，x >0，则f (－2)＋f (1)＝( )A ．3B ．6C ．7D ．10B [f (－2)＋f (1)＝3＋3＝6.]3．(2019·深圳高一月考)下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )A [A 选项中，当x ＝0时，有两个y 与之对应，与定义矛盾．]4．(2018·东莞市高一月考)若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 B [设t ＝3x ＋2，∴x ＝t －23，所以函数式转化为f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2，所以函数式为f (x )＝3x ＋2.]5．(2018·汕头市高一期中)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝1，y ＝xxB ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1 C ．y ＝x ，y ＝3x 3D ．y ＝|x |，y ＝(x )2C [A 选项y ＝1，y ＝x x定义域不同，不表示同一函数；B ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1定义域不同，不表示同一函数；D ．y ＝|x |，y ＝(x )2定义域不同，不表示同一函数，选C ．]6．(2019·广州高一期末)函数y ＝x |x |的图象大致是( )C [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以选C ．]函数的基本性质1．函数的最值函数最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ；其次函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )．2．函数的单调性如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜(＞)f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增(减)函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．3．函数的奇偶性如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )[f (－x )＝－f (x )]，那么函数f (x )就称为偶(奇)函数．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．函数的奇偶性是一个整体的概念．函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)设函数f (x )是定义在R 上的减函数，且f (x )为奇函数，若x 1<0，x 2>0，则下列结论不正确的是( )A ．f (0)＝0B ．f (x 1)>0C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≤f (2)D [对于A 项，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，正确； 对于B 项，∵f (x )为R 上的减函数，∴x 1<0⇒f (x 1)>f (0)＝0，正确； 对于C 项，∵x 2>0，∴x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2(当且仅当x 2＝1x 2，即x 2＝1时等号成立)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)，正确；对于D 项，∵x 1<0，∴x 1＋1x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋1－x 1≤－2－x 1·1－x 1＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≥f (－2)＝－f (2)，错误．故选D ．]2．(2020·1月广东学考)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋3 B ．f (x )＝x 2－2 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝1xB [对于A ，f (x )＝x ＋3，为一次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 2－2，为二次函数且其对称轴为y 轴，是偶函数，符合题意， 对于C ，f (x )＝x 3，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝1x，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；故选B ．]3．(2019·1月广东学考)已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－4x ，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝ .－x 2－4x [∵x >0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ，又∵y ＝f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x .](1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.[最新模拟快练]1．(2019·佛山高一月考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1C [函数y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C ．]2．(2020·广东学考模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (1)的x 取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(－1,1)B [根据题意，f (x )为偶函数，则f (2x －1)<f (1)⇒f (|2x －1|)<f (1)， 又由函数在区间[0，＋∞)上单调递增， 则f (|2x －1|)<f (1)⇒|2x －1|<1， 解得：0<x <1，故选B ．]3．(2018·东莞市高一月考)已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1A [∵函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上单调递减，∴A ＝1，B ＝12，∴A －B ＝12，故选A ．]4．(2019·揭阳高一期末)f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝ .－2 [f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2.]5．(2019·中山学考模拟题)若函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是 ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) [因为函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，所以a6≤－1或a6≥1，解得a ≤－6或a ≥6.∴实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[6，＋∞)．]6．(2018·广州市学考模拟题)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g x ＋n2g x ＋m是奇函数．(1)确定y ＝g (x )的解析式；(2)求m ，n 的值；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．[解] (1)由题意设g (x )＝a x ，a >0且a ≠1，则g (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，所以y ＝g (x )＝2x .(2)由(1)知：f (x )＝－2x ＋n 2x ＋1＋m ，因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即n －12＋m＝0⇒n ＝1，∴f (x )＝1－2x 2x ＋1＋m ，又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1⇒m ＝2. (3)由(2)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式： f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2，即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.。