2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z 满足2)1(=+z i ，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．i +1 B ．1i - C ．i 22+ D ．i 22-2．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，{}(,)|,1B x y x y x y =+=为实数,且，则A B I 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．若向量a r ，b r ，c r ，满足//a b r r 且a b ⊥r r ，则(2)c a b +r r rg=( ) A ． 4 B ．3 C ．2 D ．04．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为()12，，则OA OM z •=的最大值为( )A ．24B ．23C ．4D ．36．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A ．21 B ．53 C ．32 D ．43 7．如图1～3，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( ) A ．36 B ．39 C ．312 D ．318 8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀,，有S ab ∈， 则称S 关于数的乘法是封闭的，若,T V 是Z 的两个不相交的 非空子集，T V Z =U ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，则下列结论恒成立的是( )A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法是封闭的(特例法：例1：若T =自然数集，V =负整数集，满足T V Z =U ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，此时T 封闭，V 不封闭，排除D ；例2：若{}1,0,1T =-，{},3,2,2,3,V =--L L ，满足T V Z =U ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，此时T ，V 都封闭，排除,B C 。

故选A ) 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

(一)必做题(9～13题)9．不等式031≥--+x x 的解集是_______________________。

10．72⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 的展开式中，4x 的系数是____________________________ (用数字作答)。

11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项和。

若11=a ，04=+a a k ，则k =________。

12．函数13)(23+-=x x x f 在x = 处取得极小值。

13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm 。

因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm 。

(二)选做题(14-15小题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为()πθθθ<≤⎩⎨⎧==0sin cos 5y x 和⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 245(t R ∈)， 它们的交点坐标为 。

15．(几何证明选讲选做题)如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B 且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，BAC APB ∠=∠，则AB = 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．(12分) 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=631sin 2)(πx x f ，R x ∈。

(1)求⎪⎭⎫⎝⎛45πf 的值；(2)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，131023=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παf ，()5623=+πβf ，求()βα+cos 的值。

17．(13分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量(单位：毫克)。

下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中微量元素,x y 满足175≥x 且75≥y 时，该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)。

18．(13分)如下图，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=o，2==PD PA ，2PB =，,E F 分别是,BC PC 的中点。

(1)证明：AD ⊥平面DEF ；(2)求二面角P AD B --的余弦值。

19．(14分)设圆C 与两圆()4522=++y x ，()4522=+-y x 中的一个内切，另一个外切。

(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点354555M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，()0,5F，且P 为L 上动点，求FP MP -的最大值及此时点P 的坐标。

20．(本小题满分14分)设0b >，数列{}n a 满足1a b =，2211-+=--n a nba a n n n (2≥n )。

(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，12211+≤++n n n b a 。

21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线21:4L y x =。

实数p q 、满足042≥-q p ，21,x x 是方程02=+-q px x 的两根，记{}12(,)=max ,p q x x ϕ。

(1)过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B 。

证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ， 有0||(,)2p p q ϕ=；(2)设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240,0a b a ->≠。

过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '。

线段EF 上异于两端点的点集记为X ， 证明：112||(,)||||(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；(3)设215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =≤-≥+-，当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值(记为min ϕ)和最大值(记为max ϕ)。

2011年广东高考理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：9．[1,)+∞；10．三、解答题：16．解：(1)51522sin 2sin 2243464f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

(2)11032sin 32sin 232613f πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴5sin 13α=，()()1632=2sin 32=2sin +2cos 3625f ππβπβπββ⎡⎤⎛⎫++-== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，3cos 5β=，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，∴22512cos 1sin 11313αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，2234sin 1cos 155ββ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴()1235416cos =cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+-=⨯-⨯=。

17．解：(1)乙厂生产的产品数量5=98=3514⨯(件)。

(2)由上表知在抽取的5件乙厂的产品中，编号为2和5是优等品，所以优等品所占的比例为25，所以可估计乙厂生产的优等品的数量2=35=145⨯(件)。

(3)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ===，22251(2)10C P C ξ===∴ξ的分布列为 ξ的均值为3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=。

18．(1)证明：如下图，设M 为AD 的中点，连结,,PM BM BD ，∵PA PD =，∴AD PM ⊥，∵60DAB ∠=o ，AB AD =∴ABD ∆是等边三角形，∴AD BM ⊥，∵PM BM ⊂、平面PBM ，=PM BM M I ，∴AD ⊥平面PBM 。

∵E 分别是BC 的中点，∴//MD BE ，且=MD BE ，∴BEDM 是平行四边形，∴//BM DE ，∵BM ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，∴//BM 平面DEF 。

∵E,F 分别是,BC PC 的中点，∴EF 是的PBC ∆中位线，//EF PB ，∵PB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴//PB 平面DEF ，∵BM PB ⊂、平面PBM ，BM PB B =I ，∴平面//PBM 平面DEF ，∴AD ⊥平面DEF(2)由(1)知AD PM ⊥，AD BM ⊥，∴PMB ∠是二面角P AD B --的平面角。

在PMB ∆中，()222217=22PM PA AM ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，222213=12BM AB AM ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， ∴2227342144cos 2732PM BM PB PMB PM BM +-+-∠===-⋅⨯⨯。

19．解：(1)圆()4522=++y x 的圆心为1(5,0)F -，半径为2，圆()4522=+-y x 的圆心为2(5,0)F ，半径为2。

设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1F 内切，与圆2F 外切，则有12CF r =-，22CF r =+，∴214CF CF -=；若圆C 与圆1F 外切，与圆2F 内切，则有1+2CF r =，22CF r =-，∴124CF CF -=；综上可得214CF CF -=，∵12425F F <=，∴圆C 的圆心轨迹L 是以1F 、2F 为焦点，4为实轴长的双曲线，设其方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则=2a ，c=5，∴2221bc a =-=，∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为22=14x y -。