函数模型的应用实例【学习目标】1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.【要点梳理】【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】要点一：解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).要点二：解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1.心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x)表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的公式：20.1 2.643, (010)()59, (1016)3107, (1630)x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩．问开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ 【答案】开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟． 【解析】 当0＜x≤10时，f (x)=―0.1x 2+2.6x+43=―0.1(x―13)2+59.9，可知f (x)在（0，10）上单调递增，故其最大值为 f (10)=―0.1×(―3)2+59.9=59．显然，当16＜x≤30时，f (x)递减， f (x)＜－3×16+107=59．因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟． 【总结升华】（1）解决分段函数模型问题的关键在于“分段归类”，即自变量属于哪一段就选用哪段的函数【解析】式来分析解决问题．（2）求解“已建立数学模型”的应用问题关键是抓住已建立的函数模型，选择合适的方法求解建立的数学模型．注意一定要“读”懂模型．例2.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R （x ）（万元）满足20.4 4.2(05)()11,(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y =f （x ）的解析式（利润=销售收入－总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【思路点拨】（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．由20.4 4.2(05)()11,(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，f （x ）=R （x ）－G （x ），能写出利润函数y =f （x ）的解析式．（2）当x ＞5时，由函数f （x ）递减，知f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．当0≤x ≤5时，函数2()0.4(4) 3.6f x x =--+，当x =4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【答案】（1）20.4 3.2 2.8(05)8.2(5)x x x x x ⎧-+-≤≤⎨->⎩；（2）400【解析】（1）由题意得G （x ）=2.8+x ．∵20.4 4.2(05)()11,(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，∴20.4 3.2 2.8(05)()()()8.2(5)x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨->⎩．（2）当x ＞5时， ∵函数f （x ）递减，∴f （x ）＜f （5）=3.2（万元）．当0≤x ≤5时，函数2()0.4(4) 3.6f x x =--+，当x =4时，f （x ）有最大值为3.6（万元）．所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．【总结升华】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．举一反三： 【变式1】 设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是y=ce kx ，其中c ，k 为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa ，1000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa ，求600 m 高空的大气压强（结果保留3位有效数字）．【答案】 0.943×105.【解析】这里已有函数模型，要求待定系数c 、k ，由x=0时y=1.01×105 Pa 和x=1000 m 时y=0.90×105 Pa 可求．将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=ce kx 中，得50510001.01100.9010k k ce ce ⋅⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩，∴5510001.01100.9010kc ce⎧=⨯⎪⎨⨯=⎪⎩． 将c=1.01×105代入0.90×105=ce 1000k 中得0.90×105=1.01×105e 1000k ， ∴10.90ln1000 1.01k =⨯． 由计算器算得k=－1.15×10－4， ∴45 1.15101.0110xy e --⨯=⨯⨯．将x=600代入上述函数关系式得45 1.15106001.0110y e --⨯⨯=⨯⨯，由计算器算得y=0.943×105 Pa ．答：600 m 高空的大气压强约为0.943×105 Pa ． 【总结升华】 函数y=c·a kx （a 、c 、k 为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可．类型二、自建函数模型的应用问题例3. （2016 湖南岳阳月考）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元．旅行团中的每个人的飞机标按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元．（1）写出飞机票价格y 元与旅行团人数x 之间的函数关系式；（2）当旅行团人数x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润． 【思路点拨】（1）依题意得，当1≤x ≤35时，y =800；当35＜x ≤60时，y =800―10(x ―35)=―10x +1150，从而得出结论．（2）设利润为Q ，则由Q =yx ―1600可得Q 的解析式．当1≤x ≤35且x ∈N 时，求得max Q 的值，当35＜x ≤60且x ∈N 时，再根据Q 的解析式求得max Q 的值，再把这两个max Q 的值作比较，可得结论．【答案】（1）800(135,)101150(3560,)x x N y x x x N ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩且且；（2）当x =57或x =58时，max Q =17060＞12000【解析】（1）依题意得，当1≤x ≤35时，y =800． 当35＜x ≤60时，y =800―10(x ―35)=―10x +1150；∴800(135,)101150(3560,)x x N y x x x N ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩且且．（2）设利润为Q ，则280016000(135,)1600010115016000(3560,)x x x N Q y x x x x x N -≤≤∈⎧=⋅-=⎨-+-<≤∈⎩且且． 当1≤x ≤35且x ∈N 时，max Q =800×5－16000=12000，当35＜x ≤60且x ∈N 时，22115341251011501600010()22Q x x x =-+-=--+， 因为x ∈N ，所以当x =57或x =58时，max Q =17060＞12000．故当旅游团人数为57或58时，旅行社可获得最大利润为17060元．【总结升华】本题主要考查求函数最值的应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想． 举一反三：【变式1】某商场销售某一品牌的羊毛衫，假设每天购买人数m 与每件羊毛衫的标价x （元）之间满足关系式m =kx +b （k 、b 为实常数)，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价．．．．称为无效价格，已知无效价格为每件300元，且当x =200时，m =100．已知这种羊毛衫的成本价是每件100元，商场以高于成本价的相同价格（标价）x 元出售．（Ⅰ）求实常数k 、b 的值；（Ⅱ）若为使商场每天获得的利润最大，那么每件羊毛衫的标价x 应为多少元？ 【答案】（Ⅰ）1300k b =-⎧⎨=⎩；（Ⅱ）当x =200时，最大值为10000元【解析】（Ⅰ）由题意得：0300,1,100200,300,k b k k b b =+=-⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩； （Ⅱ）设商场每天获取的利润为y ，∵300m x =-+，则 2(100)(300)40030000y x x x x =--+=-+-， 2(200)+10000 (100300)x x =--<<，∴当200x =时，y 取最大值为10000元；即为使商场每天要获取的利润最大，每件羊毛衫的标价为200元． 【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例2】例4．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异). (1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?【思路点拨】（1）根据题意列出不等式求解（2）列出不等式求解，因为计算过程中，数字比较大，可以使用计算器。