高等数学试题
一、填空题
1.设sin z xyz 1,-=则z yz x cos z xy
∂=∂-. 2.设L 为圆周22x
y 4+=，则对弧长曲线积分22L x +y +5dS =12
π⎰. 3.交换积分次序()222y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ⎰⎰⎰⎰.
4.方程2x y"4y'4y
e -++=的一个特解是2x x e -2
12
. 二、选择题 1.函数()2222x y 0f x,y 0x y 0
+≠=+=⎩在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0
C.两个偏导数都存在，但不为0
D.全微分存在
2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥；
2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C .
A.12xdv 4xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
B.12
ydv 4ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
C.12zdv 4zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
D.12
xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222
x dydz x y z ∑++⎰⎰等于C . A. 0
B.
22y z 1+≤⎰⎰
C.43π
D.22x z 1
+≤-⎰⎰ 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y
e c cos x c sin x =+的方程是B . A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+=
C.y"2y'5y 0-+=
D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2D
e dxdy y ⎰⎰.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 四、设y u y
f 2x,x ⎛⎫=⎪ ⎭⎝
，f 具有二阶连续偏导数，求 22
11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x
∂''''''=+--∂∂. 五、设()f
x 是一个连续函数，证明：（1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
⎰，其中22u x y =+. 证明：（1）
()()()(
)
222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y
(yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y
f x y xdx ydy ++=+++∂+'=+∂∂+∂+'=+=∂∂∴++ （2） ()()22
u x y 222200
2222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2
+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭=++=++⎰⎰ 六、求：由曲面2222z
0,z x y 1,x y 4==+=+=所围空间立体Ω的体积.
解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ
====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
七、计算曲面积分2∑⎰⎰，其中∑为下半球面z =.
是一个全微分。

解：补充曲面∑‘
：z=0并取其下侧。

xy
222210002D 2
xdydz (z 1)dxdy xdydz (z 1)dxdy (2z 3)dxdydz 1022zdxdydz 22d d 3xdydz (z 1)dxdy dxdy πππθρρππ∑
∑'∑+∑ΩΩ'∑=++++=-+=--=--=-++=-=-∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2
7xdydz (z 1)dxdy 3π∑∑=++=-⎰⎰ 八、设()f x 二阶可微，且()1
f 03=，()f 01'=-，确定()f x 使积分
()()()2L 212x 3x
012**'*''01000101*1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222P Q 112f (x)3f (x)f (x)3x y x 22f (x)2f (x)3f (x)3x 12301,3y C e C e y a x a y a y 0
02a 3a x 3a 3x 1
12a ,a 39
1y λλλλ-⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∂∂'''=→++=--∂∂'''--=+--=→=-==+=+→=→=---=+=-==-⎰x 3x 121212x 3x 2x 39
12f (x)C e C e x 39
21f (0)C C 93
11f (0)C 3C 33
1112f (x)e e x 123639
--+=+-+=++='=-+-=-=+-+()()()2L 1312yf x 3yf x y dx f x x x dy 222⎛⎫⎛⎫''+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰与路径无关.。