第八章 系统辨识在自适应控制中的应用-自校正调节器（ Self-Tuning Requlator 简称 STR ）§8 —1 最小方差控制器 ( Minimal Variance Control 简称 MVC )1. 考虑 CARMA 过程A(z -1) ⋅y(k) = z -d B(z -1) ⋅u(k)+λ C (z -1) ⋅ε(k) 式（8-1-1）{ ε(k) } 为 N (0,1) 白噪声，滞后量 d ≥ 1 。

A(z - 1) = 1+ a 1z - 1 +…+ a n z - nB(z - 1) = b 0+b 1z - 1 +…+ b n z - n （b 0 ≠ 0）C(z - 1) = 1+ c 1z - 1 +…+ c n z - n设A 、B 、C 均为稳定多项式(过程稳定且逆稳定)。

有：式（8-1-2）2. 将C /A 分解成两部分令：式（8-1-3）其中：F(z - 1) 为d 项的商多项式CA F z G A d =+-. )()()()()()()(1111k z A z C k u z A z B z k y d ελ-----+=F(z - 1) = 1+ f 1z - 1 +…+ f d -1 z - d+1 ( d 项 )G (z - 1) 为余数多项式，有n 项G(z - 1) = g 0+g 1z - 1 +…+ g n -1 z - n+1 ( n 项 )例：A = 1-1.7 z - 1+0.7 z - 2 ; C = 1+1.5 z - 1+0.9 z - 2 ；d=2 ; n=23. 证明以下多项式恒等式成立式（8 -1- 4）证明：式（8-1-3）将左右同 ⨯ A同 ÷ C同 ÷ A同 ⨯ B4． 向前d 步最优预报 y * ( k+d ∣k )由式（8-1-2）向前移d 步，有：B FC B A z G C d .(.)=--1 CA F z GA A F C z G A F C z GC F C A z GC B FC B A z GC d d dd d =+⋅⋅=-⋅⋅=-⋅=-⋅⋅=-⋅-----1111()()y k z B z A z u k C z A z k d ()()()()()()()=+-----1111λε考虑到式（8-1-3），有：式（8 -1- 5）由过程式（8-1-1）有：带入上式右项有将式（8 -1- 4）代入上式，有： 式（8 -1- 6）其中 λ F ⋅ ε(k+d) 项由ε(k+d)、ε(k+d-1)、..、ε(k+1)，共计d 项组成，均为未来的干扰作用项，与前两项统计无关。

用y * ( k+d ∣k ) 表示k 时刻向前d 步的最优预报（最小方差预报），y k d B A u k F k d G Ak ()()()()+=+++λελε λε()()()k C A y k z B C u k d =-⋅- y k d B A u k G A A C y k z G A B C u k F k d G C y k B A z B G C A u k F k d d d ()()()()()()()()+=+⋅-⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥++=+-⋅⋅⎡⎣⎢⎤⎦⎥++--λελεB FC B A z G Cd .(.)=--1 )()()()(d k F k u CF B k y CG d k y +⋅⋅+⋅+=+ελ即：E [ y(k+d)- y * ( k+d ∣k ) ] 2 ≤ E [ y(k+d)- y ( k+d ∣k ) ] 2由式（8 -1- 6）有：则k 时刻向前d 步的最优预报为：式（8 -1- 7）5． 最小方差控制率（MVC ）令 y r 为输出设定值，要求k 时刻的控制量u(k)使得：将y * ( k+d ∣k ) = y r 代入式（8 -1- 7）得出MVC 为：[]22222)]([)()()()()()()()()(d k F E k d k y k u C BF k y C G E k d k y d k F k u C BF k y C G E k d k y d k y E +⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅++==+-+ελελ)()()(k u C F B k y C G k d k y ⋅+=+*[]*==-+)()(2m in)(k u k u r y d k y E式（8 -1- 8）若y r = 0 ，则：式（8 -1- 9）存在零极点对消，要求B 为逆稳定7． MVC 的调节误差与方差定义调节误差为 y (k+d) = y (k+d) - y rF B k yG y C k u r⋅⋅-⋅=*)()()()(k y F B Gk u ⋅⋅-=*由式（8 -1- 6）将MVC 控制率式（8 -1- 8）代入上式得出： y (k+d) = y r + λ F ε (k+d)则：y (k+d) = y (k+d) - y r = λ F ε (k+d) 式（8 -1- 10）调节误差的方差为：E y 2 (k+d) = E[ y (k+d) - y r ] 2 = λ2 E [F ε (k+d)] 2= λ2 (1+f 12+f 22+…+f d-12 ) 式（8 -1- 11） 因为 F(z - 1) = 1+ f 1z - 1 +…+ f d -1 z - d+1 (共 d 项 )可见：d 愈大调节误差的方差也愈大。

8． 举例 A y(k) = z -d Bu(k)+λ C ε(k)A = 1-1.7 z - 1+0.7 z - 2 ;B = 1+ 0.5z - 1 ;C = 1+1.5 z - 1+0.9 z - 2 ；d=2 ; n=2由长除法得：F = 1+ 3.2 z - 1 ; G = 5.64- 2.24 z - 1MVC 率，当y r = 0时：)()()()(d k F k u C FB k yC Gd k y +⋅⋅+⋅+=+ελC B k y G y C k u r ⋅⋅-⋅=*)()(=++--=-=---*)()2.31)(5.01(24.264.5)()(111k y z z zk y BF G k u当y r ≠ 0时：y(k)= λ F ε (k) = λ(1+3.2z -1) ε (k)E y 2 (k) = λ2 (1+f 12 )= λ2 (1+3.2 2 )=11.24 λ2习题：已知过程A = 1-1.6 z - 1+0.8 z - 2 、B = 1- 0.5z - 1+0.2 z - 2 、C = 1-0.95 z - 1+0.5 z - 2 、y r = 0 , 求d= 1、2、3时的MVC 控制率和y(k)与E y 2(k) ？9． MVC 小结a) MVC 是使向前d 步控制方差为最小的随机控制，算法简单，容易实现；)(6.17.3124.264.5)(211k y zz z k u ---*++--=211216.17.31)()24.264.5()9.05.11()()(-----*++--++==⋅-⋅=z z k y z y z z BFk y G y C k u r r )()()()()()()(1111k z A z C k u z A z B z k y d ελ-----+=b) 其本质上是向前d步的最优预报，适用于强随机干扰和大滞后的场合；c) 只适用于逆稳定（最小相位）过程，由此限制了它的应用范围；d) 指标中仅考虑使得E y2为最小，没有对u的约束，有可能因导致过大的控制动作而不能实现；要求过程模型已知，因此它还不是自适应控制。

§8 —2 自校正调节器（Self-tuning Regulator）参数在线辨识与MVC的结合，1973年首次提出，后经不断改进，并获得广泛应用。

1．STR框图自校正调节器示意框图MVC框图STR（隐式）框图2. 向前d步预报方程可以通过在线估计A、B、C的参数，计算得出G和F，再计算出α(z-1)和β (z-1)，构成STR的显示算法，而更为简洁的是直接辨识以下向前d步预报方程：y(k+d)= α(z-1)y(k)+β(z-1)u(k)+w(k+d) 式（8-2-1）其中：α(z-1)= α1+α2 z-1+…+αp z-p+1共p项（p=n）β(z-1)= β0+β1 z-1+…+βq z-q共q+1项（q=n+d-1）即：y(k+d)=α1y(k)+…+αp y(k-p+1)+ β0u(k)+ β1u(k-1)+…+ βq u(k-q)+w(k+d) w(k+d) ——预报误差将式（8-1-12）预报方程向后位移d步，得出：y(k)= α(z-1)y(k-d)+β(z-1)u(k-d)+w(k) 式（8-2-1-a）即：y(k)= α1y(k-d)+…+αp y(k-d-p+1)+ β0u(k-d)++β1u(k-d-1)+…+βq u(k-d-q)+w(k)因为q=d+p-1，所以上式还可写为y(k)= α1y(k-d)+…+αp y(k-q)+ β0u(k-d)+β1u(k-d-1)++…+βq u(k-d-q)+w(k) 式（8-2-1-b）3. STR的计算步骤10在线估计引入向量θ = [ α1、…、αp、β1、…、βq ]T(2n+d-1)⨯1维ξ(k)=[ y(k),…,y(k-p+1),u(k-1),…,u(k-q) ]T预报方程为y(k+d)= β0u(k)+ θ Tξ(k)+w(k+d) 式（8-2-2）或：y(k)= β0u(k-d)+ θ Tξ(k-d)+w(k) 式（8-2-2-a）由上式（8-2-2-a），用RLS法可在线估计出θ的参数。

为避免闭环不可辨识问题发生，β0不参加在线辨识，而是事先确定的。

20确定控制量u(k)控制的目标是使得y(k+d)的最小方差预报y(k+d|k)等于y r , 即：y(k+d|k) = β0u(k)+ θk Tξ(k) = y r则：u(k) = [y r- θk Tξ(k) ] /β0 式（8-2-3）4. 仿真结果：举一简单例子：y(k) = y(k-1)+u(k-1)+ ε(k)-0.7ε(k-1)这里的：d=1, A= 1-z-1, B= 1, C= 1- 0.7z-1。

解出F= 1, G= 0.3 。

对于参数已知情况下的MVC控制率为：u(k) = -0.3y(k) , 最优反馈系数为0.3。

以下两图给出STR的仿真结果。

STR 参数在线估计仿真结果STR 与MVC 累计损失函数V k 的比较5. 收敛性问题：STR → MVC ?已证明：当p 和q 足够大、而且α(z -1)与β(z -1)间无公共因子，则STR∑==ki k i y V 12)(→MVC（当n→∞时）。