3
{(������, ������) ∈ ������: ������ ≥ 0}，即������3 为������在上半平面的那一部分区域.
四、 设������关于������ = ������ 对称：
1. 若������(������, ������) = −������(������, ������)，则������ = 0. 2. 若������(������, ������) = ������(������, ������)，则������ = 2 ∬ ������(������, ������)������������，其中������4 = {(������, ������) ∈ ������: ������ ≥ ������}，即������4 为 ������
1
{(x, y) ∈ D: x ≥ 0}，即D1 为������中位于������轴右边的那一部分区域. 3. 若������ 关于������没有奇偶性，则������ = ∬������ [������(������, ������) + ������(−������, ������)]������������，其中������1 = {(������, ������) ∈
������������ ������������ ������������ | ������������ ������������
（2） 在������′上雅可比行列式������(������, ������) = ������(������,������) = |������������ ������������
1
������: ������ ≥ 0}，即D1 为������中位于y轴右边的那一部分区域.(这是因为任意一个函数������(������)都 可以表示成“奇函数+偶函数”的形式，即������(������) =
������(������)+������(−������) 2
+
������(������)−������(−������) 2
1 1
由于Ω1在X轴上的投影区间为[0,1]，在Ω1上垂直于X轴的截面区域D������ 为������ ≥ 0, ������ ≥ 0, ������ 2 + ������ 2 ≤ 1 − ������ 2， 所以������ = 8 ∫0 ������������ ∬ ������ ������ ������������������������ = 8 ∫0 ������ ������ 4 ������(1 − ������ 2 )������������ = 2������ ∫0 ������ ������ (1 − ������ 2 )������������ = 2������. ������
例 1.计算二重积分������ = ∬ ������������������ (������+������) ������������������������，其中D是由������ + ������ = 1, ������ = 0 及������ = 0所围成. ������ ������ = ������ = ������ − ������ 2 解：令{������ = ������ + ������，则{ ������−������，在此变换下，������ = 0变为������ = ������ ，������ = 0变为������ = −������，������ + ������ = 1变为������ = 1. ������ =
注：此要靠自己去理解和体会.
二重积分的换元法及三重积分的换元法
一、 二重积分的换元法：
1. 二重积分从直角坐标系中的������, ������变换为极坐标中的������, ������是二重积分换元法的一种特殊 情形. 2. 二重积分换元法的一般情形： 设函数������(������, ������)在闭区域������上连续，变换������: ������ = ������(������, ������), ������ = ������(������, ������)将������������������平面上的闭 区域������′变为������������������平面上������，且满足： （1） ������(������, ������), ������(������, ������)在������′上具有一阶连续偏导数；
4
������在直线������ = ������以上的那一部分区域. 注：三重积分利用区域对称性与函数奇偶性简化计算与二重积分类似.
例 1.计算������ = ∭ ������ |������| ������������������������������������，其中Ω为：������ 2 + ������ 2 + ������ 2 ≤ 1. ������ 解：设Ω在第一象限内的区域为Ω1，由于Ω关于三个坐标面均对称，同时，函数������ |������| 关于������, ������, ������都为偶函数， 所以I = ∭ ������ |������| ������������������������������������ = 8 ∭ ������ |������| ������������������������������������ = 8 ∭ ������ ������ ������������������������������������. Ω Ω Ω
.)
二、 设������关于X轴对称：
1. 若������ 关于y为奇函数，即������(������, ������) = −������(������, −������)，则������ = 0. 2. 若������ 关于������为偶函数，即������(������, ������) = ������(������, −������)，则������ = 2 ∬ ������(������, ������)������������，其中������2 = ������
二、 三重积分的换元法:
������ = ������(������, ������, ������) ������(������,������,������) 设{������ = ������(������, ������, ������) , ������ = ������(������,������,������) ≠ 0, (������, ������, ������) ∈ ������′，������(������, ������, ������)在������ 上连续，则： ������ = ������(������, ������, ������) ������(������, ������, ������)������������������������������������ = ∭ ������(������(������, ������, ������), ������(������, ������, ������), ������(������, ������, ������))|������|������������������������������������ . ∭ ������ ������′ ������ = ������������������������������������������������������������ 常用的变换有{ ������ = ������������������������������������������������������������ ，此时������ = ������������������������ 2 ������������������������.(化椭球为球) ������ = ������������������������������������
1
������: ������ ≥ 0}，即������1 为������中位于X轴上边的那一部分区域.
三、 设������关于原点对称：
1. 若������ 关于������, ������为奇函数，即������(������, ������) = −������(−������, −������)，则������ = 0. 2. 若������ 关于������, ������为偶函数，即������(������, ������) = ������(−������, −������)，则������ = 2 ∬ ������(������, ������)������������，其中������3 = ������
利用区域对称性及函数奇偶性简化二重积分的计算归纳
一、 设������关于������轴对称：
1. 若������ 关于������为奇函数，即������(������, ������) = −������(−������, ������)，则������ = 0. 2. 若������ 关于������为偶函数，即������(������, ������) = ������(−������, ������)，则������ = 2 ∬ ������(������, ������)������������，其中D1 = ������
2
{(������, ������) ∈ ������: ������ ≥ 0}，即������1 为������中位于������轴上边的那一部分区域. 3. 若������ 关于������没有奇偶性，则������ = ∬ [������(������, ������) + ������(������, −������)]������������，其中������1 = {(������, ������) ∈ ������
������ 2������ ������ ������ ������