相似三角形的判定、性质及应用（习题）➢例题示范例1：如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？FE DCBA解：△ABE与△DEF相似．理由如下：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=AD=CD设AB=AD=CD=4a∵E为边AD的中点，CF=3FD∴AE=DE=2a，DF=a∴422AB aDE a==，22AE aDF a==∴AB AE DE DF=又∵∠A=∠D∴△ABE∽△DEF例2：小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．FE D CBA解：由题意，AE=20，CE=2.5，DC=1.6，∠FEB=∠FED ∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE ∽△DCE∴AB AEDC EC =∴201.6 2.5AB = ∴AB =12.8 ∴大楼AB 的高为12.8米．➢ 巩固练习1. 如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP =∠B ；②∠APC =∠ACB ；③2AC AP AB =⋅；④AB CP AP CB ⋅=⋅．其中能判定△ABC ∽△ACP 相似的是__________．BPCAEAD第1题图 第2题图2.A .△AED ∽△BEDB .△AED ∽△CBDC .△AED ∽△ABDD .△BAD ∽△BCD3. 在如图4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ A B C D4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ，12OD OC =，若OA =1，92OB =，则OD =_____，ADBC=______．ODCBA 21N M B A P第4题图 第5题图5. 如图，∠APB =120°，点M ，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．若19AM NB ，AB =26，则NB 长为_______．6.7. 如图，在△ABC 中，CD =CE ，∠A =∠ECB ．求证：CD 2=AD ·BE ．ED C8. 将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分记为△GEC ．已知BC =14，BA =15，S △ABC =87，则当EG =BE 时，求△GEC 的面积．GFE DC B A9. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，求证：△ABD ∽△A′B′D′.BC D AD'C'B'A'10. 小刚身高1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ） A ．0.5 mB ．0.55 mC ．0.6 mD ．2.2 m11. 如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB =1.2 m ，BP =1.8 m ，PD =12 m ，那么该古城墙的高度是（ ） A ．8 m B ．10 m C ．15 mD ．18 m12. 如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA =10 cm ，OA'=20 cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是_________．OE'D'C'B'A'E C DBA13. 如图，△ABC 与△DEF ，且直线AD ，CF ，BE 相交于点O ，23OA OB OC OD OE OF ===，已知AB =4，则DE 的长为_________．OF E D CB A第13题图 第14题图 14. 如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是_________．➢ 思考小结1. 如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (4，2)，B (8，6)，C (6，10)，D (-2，6)．（1）将A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘12，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（2）将A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘12-，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（3）在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形_____，位似中心是______，它们的相似比为_______．2.回顾相似三角形相关概念，并填空．①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是______，三角形相似是______．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．3.实际生活中测量旗杆的高度，都是利用了相似三角形的原理进行的．下列三种方法都利用了物体与地面垂直的特性，除此之外，这三种方法还分别用了哪些实际生活中的原理呢？请把选项填到对应的横线上．①利用阳光下的影子：_________②利用标杆：_________③利用镜子的反射：_________A ．镜子的反射定律：借助入射角、反射角相等B ．视线与一组平行线相交，同位角相等C ．同一时刻，太阳光线（平行光线）与水平地面的夹角相等相似模型（一）（习题）➢ 例题示范例1：如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为9.6 m ，在墙面上的影长CD 为2 m ．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1 m 的标杆的影长为1.2 m ．请帮助小明求出旗杆的高度．解：如图，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，则四边形BCDE 为矩形．由题意，BC =9.6，CD =2， ∴BC =DE =9.6，CD =BE =2由题意， 11.2AE ED∴AE =8∴AB =AE +EB =8+2=10 ∴旗杆的高度为10 m ．➢ 巩固练习1. 如图，在锐角三角形ABC 中，高CD ，BE 相交于点H ，则图中与△CEH 相似（除△CEH 自身外）的三角形有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第1题图 第2题图2. 如图，E 是□ABCD 的边CD 上一点，连接AC ，BE 交于点F ．若DE :EC =1:2，则BF :EF =________． 3. 如图，小明在A 时刻测得某树的影长为 2 m ，B 时刻又测得该树的影长为8 m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD :CD =3:2，则AC :AB =（ ） A．32B ．23C ．2D ．3第4题图 第5题图5. 如图，已知□ABCD ，过点B 的直线依次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于点E ，F ，G ．若BE =5，EF =2，则FG 的长为_________．6. 如图，梯形ABCD 的中位线EF 分别交对角线BD ，AC 于点M ，N ，AD =1，BC =3，则EF =________，MN =________．第6题图 第7题图7. 如图，D 是AB 的中点，AF ∥CE ，若CG :GA =3:1，BC =8，则AF =________．DBAE HABD CEFDBCAGFEDC BA CBNMF E D A A 时B 时A B DEF G8. 如图，P 是□ABCD 的对角线BD 上一点，一直线过点P 分别交BA ，BC 的延长线于点Q ，S ，交AD ，CD 于点R ，T ．有下列结论：①△RQA ∽△RTD ；②PS PD PR PB ⋅=⋅； ③PQ PB PT PD=；④PQ PR PS PT ⋅=⋅.其中正确的是________. 9. 如图，在△ABC 中作内接菱形CDEF ，设菱形的边长为a ．求证：111AC BC a+=．10. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 上的点，若AF ⊥BE ，垂足为F ．求证：∠BFD =∠C ．F ECDBAEFCDA11. 如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m ，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m ，留在墙上的影子高为1 m ，则旗杆的高度是_________．第11题图 第12题图12. 如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD =4 m ，BC =10 m ，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m ，则电线杆的高度为____________． 13. 如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB ，B 是CD 的中点，且CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD =14 m ，塔影长DE =36 m ，小明和小华的身高都是1.6 m ，小明站在点E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4 m ，2 m ，那么塔高AB=_________．第13题图 第14题图14. 某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m的竹竿的影长为0.4 m ，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m ，一级台阶高为0.3 m ，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m ，则树高为_________．➢ 思考小结1. 相似基本模型除了图形本身往往有公共角、对顶角相等之外，还需要满足一些其他特征，这些特征能够帮助我们快速验证模型．①平行线，往往配合对顶角相等（X 型）、有公共角（A型）②一组角对应相等，往往配合对顶角相等（X型）、有公共角（A型）③多直角结构，往往利用互余关系得到角相等后，配合有公共角（母子型）2.影子上墙问题的常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法，这三种方法的实质都是构造三角形相似，在构造的时候，我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角．【参考答案】➢巩固练习1.C2.3:23. 4 m4.D5.21 26.2；17.48.①②③④9.证明略10.证明略11.8 m12.(7 m13.20 m【参考答案】➢巩固练习1.①②③2.B3.B4.32；135.186.证明略7.证明略8.△GEC的面积为588 299.证明略10.A11.A12.1:213.614.32a+ -➢思考小结1.（1）位似，位似中心是原点，相似比是1 2（2）位似，位似中心是原点，相似比是1 2（3）位似，原点，k．2.条件，结论3.C，B，A。