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相似三角形模型分析大全

.第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识(一)A字型、反A字型(斜A字型)B(平行)B(不平行)(二)8字型、反8字型BCBC(蝴蝶型)(平行)(不平行)(三)母子型B(四)一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形)或者等边三角形为背景.(五)一线三直角型:(六)双垂型:二、相似三角形判定的变化模型旋转型:由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1、已知:如图,△ABC 中,点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠.求证:(1)DA DE DB ⋅=2; (2)DAC DCE ∠=∠.例2、已知:如图,等腰△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分别交AD 、AC 于E 、F .求证:EG EF BE ⋅=2.点评:本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质.关键是能根据所证连接CE 相关练习:1、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 交于点O ,BE ∥CD 交CA 延长线于E .求证:OE OA OC ⋅=2.2、如图,已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线.求证:FC FB FD ⋅=2.3、已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =2,AC =4,P 是斜边AB 上的一个动点,PD ⊥AB ,交边AC 于点D (点D 与点A 、C 都不重合),E 是射线DC 上一点,且∠EPD =∠A .设A 、P 两点的距离为x ,△BEP 的面积为y . (1)求证:AE =2PE ;(2)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当△BEP 与△ABC 相似时,求△BEP 的面积.双垂型1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高求证:(1)△ABD∽△ACE;(2)△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED解答:证明:(1)∵CE⊥AB于E,BF⊥AC于F,∴∠AFB=∠AEC,∠A为公共角,∴△ABD∽△ACE(两角对应相等的两个三角形相似).(2)由(1)得AB:AC=AD:AE,∠A为公共角,∴△ADE∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)(3)∵△ADE∽△ABC∴AD:AB=DE:BC又∵∠A=60°∴BC=2ED共享型相似三角形1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长. DECD如图∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60° 又∵DBCE 在一条直线上∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60° ∵∠DAE=120°∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60° 由上可知∠ADB=∠CAE ,∠DAB=∠CAE ∴△DAB ∽△AEC∵三角形相似对应边成比例 ∴BD /AC=AB /CE ∵BD=1,CE=3 ∴AB=AC=√32、已知:如图,在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠DAE =45°.求证:(1)△ABE ∽△ACD ; (2)CD BE BC ⋅=22.C A解答:证明:(1)在Rt △ABC 中, ∵AB=AC ,∴∠B=∠C=45°. (1分)∵∠BAE=∠BAD+∠DAE ,∠DAE=45°,∴∠BAE=∠BAD+45°.(1分)而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°,(1分)∴∠BAE=∠CDA.(1分)∴△ABE∽△DCA.(2分)(2)由△ABE∽△DCA,得.(2分)∴BE•CD=AB•AC.(1分)而AB=AC,BC2=AB2+AC2,∴BC2=2AB2.(2分)∴BC2=2BE•CD.(1分)点评:此题考查了相似三角形的判定和性质,特别是与勾股定理联系起来综合性很强,难度较大.一线三等角型相似三角形例1:如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60°(1)求证:△BDE∽△CFD(2)当BD=1,FC=3时,求BE证明:(1)∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60°∵∠EDF=60°∴∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120°∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°∴∠CDF=∠BED∵∠B=∠C∴△BDE相似△CFD2、∵BD=1∴CD=BC-BD=6-1=5∵△BDE相似△CFD∴BE/CD=BD/CFBE/5=1/3 BE=5/3例2、已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2.(1)如图8,P 为AD 上的一点,满足∠BPC =∠A . ①求证;△ABP ∽△DPC ②求AP 的长.(2)如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP =x ,CQ =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;②当CE =1时,写出AP 的长.CBADCBA D解答:解:(1)∵ABCD 是梯形,AD ∥BC ,AB=DC . ∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°,∠APB+∠DPC+∠BPC=180°,∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC , ∴△ABP ∽△DPC ∴,即:解得:AP=1或AP=4.(2)①由(1)可知:△ABP ∽△DPQ ∴,即:,∴(1<x <4).②当CE=1时,AP=2或.点评:本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用,利用相似三角形得出线段间的比例关系是求解的关键.例3:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,6AB CD BC ===,3AD =.点M 为边BC 的中点,以M 为顶点作EMF B ∠=∠,射线ME 交腰AB 于点E ,射线MF 交腰CD 于点F ,联结EF .(1)求证:△MEF ∽△BEM ;(2)若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形,求EF 的长; (3)若EF CD ⊥,求BE 的长1.证明:∵AB=CD.∴梯形ABCD 为等腰梯形,∠B=∠C;又∠EMF=∠B,则:∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM. ∴⊿CMF ∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE. ∵MF/EM=BM/BE;∠EMF=∠B. ∴△MEF ∽△BEM.2.解:当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.∴EF ∥BC;又BE=3=AB/2.故EF 为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2; 当ME=BM=3时:∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM 平行BM,则四边形ABMD 为平行四边形. ∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F 与D 重合,此时EF=CD=6. 3.解:∵EF ⊥CD;∠CFM=∠BME=∠EFM. ∴∠EFM=45°=∠BME.作EG ⊥BM 于G,则EG=GM;作AH ⊥BM 于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=√(AB ²-BH ²)=3√15/2. 设EG=GM=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3√15/2),X=(45-3√15)/14. BE/BA=EG/AH,即BE/6=[(45-3√15)/14]/(3√15/2),BE=(6√15-6)/7.练习:如图,已知边长为3的等边ABC ∆,点F 在边BC 上,1CF =,点E 是射线BA 上一动点,以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆,直线,EG FG 交直线AC 于点,M N , (1)写出图中与BEF ∆相似的三角形; (2)证明其中一对三角形相似;(3)设,BE x MN y ==,求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (4)若1AE =,试求GMN ∆的面积.一线三直角型相似三角形例:已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,点P 是AD 上的一个动点,且和点A,D 不重合,过点P 作CP PE ⊥,交边AB 于点E,设y AE x PD ==,,(1)求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围。

(2)如果△PCD 的面积是△AEP 面积的4倍,求CE 的长;(3)是否存在点P ,使△APE 沿PE 翻折后,点A 落在BC 上?证明你的结论。

E DP解答:(1)解:∵PE⊥CP,∴可得:△EAP∽△PDC,∴,又∵CD=2,AD=3,设PD=x,AE=y,∴,∴y=-,0<x<3;(2)解:当△PCD的面积是△AEP面积的4倍,则:相似比为2:1,∴,∵CD=2,∴AP=1,PD=2,∴PE=,PC=2,∴EC=.(3)不存在.作AF⊥PE,交PE于O,BC于F,连接EF∵AF⊥PE,CP⊥PE ∴AF=CP=, PE=,∵△CDP∽△POA∴=,OA=,若OA=AF =, 3x2-6x+4=0 △=62-4×4×3=-12x无解因此,不存在.点评:此题主要考查了相似三角形的判定,以及相似三角形面积比是相似比的平方.相关练习1、(2009虹口二模)如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,3tan 4B =,D 是BC 边的中点,E 为AB 边上的一个动点,作90DEF ∠=︒,EF 交射线BC 于点F .设BE x =,BED ∆的面积为y .(1)求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似,求BED ∆的面积.。

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