高中数学复习笔记（整理于2013-8）一、 函数图象1、对称：y=f （x ）与y=f （-x ）关于y 轴对称，例如：x a y =与x a y -=（10≠>a a 且）关于y 轴对称y=f （x ）与y= —f （x ）关于x 轴对称，例如：21x y =与21x y -=关于x 轴对称y=f （x ）与y= —f （-x ）关于原点对称，例如：21x y =与21）（x y --=关于原点对称y=f （x ）与y=f 1-（x ）关于y=x 对称，例如： y=10x与y=lgx 关于y=x 对称y=f （x ）与y= —f1-（—x ）关于y= —x 对称，如：y=10x与y= —lg （—x ）关于y= —x 对称注：偶函数的图象本身就会关于y 轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：2x y =图象本身就会关于y 轴对称，3x y =的图象本身就会关于原点对称。

y=f （x ）与y=f （a —x ）关于x=2a 对称（22a x a x =-+ ） 注：求y=f （x ）关于直线±x ±y ±c=0（注意此时的系数要么是1要么是-1）对称的方程，只需由x ±y+c=0解出x 、y 再代入y=f （x ）即可，例如：求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=02、平移：y=f （x ）→y= f （ωx+φ）先向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位，再保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的ω1倍（若y= f （ωx+φ）→ y=f （x ）则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的ω倍，再将整个图象向右（φ>0）或向左（φ<0）平移|φ|个单位，即与原先顺序相反）y=f （x ）→y= f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωφωx 先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的|ω1|倍，然后再将整个图象向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|ωφ|个单位，（反之亦然）。

3、必须掌握的几种常见函数的图象1、 二次函数y=a 2x +bx+c （a 0≠）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值）2、 指数函数xa y =（10≠>a a 且）（理解并掌握该函数的单调性与底数a 的关系）3、 幂函数ax y =（10≠>a a 且）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a 的关系）4、 对数函数y=log a x （10≠>a a 且）（理解并掌握该函数的单调性与底数a 的关系）5、 y=xax +（a 为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间） 6、 三角函数y=sinx 、y=cosx 、y=tanx 、y=cotx （能根据图象判断这些函数的单调区间） 注：三角中的几个恒等关系sin 2x+ cos 2x=1 1+tan 2x=sec 2x 1+cot 2x=csc 2x tanx x cot ⋅=1利用函数图象解题典例已知21x x 、分别是方程x +10x=3及x+lgx=3的根，求：21x x +分析：x +10x=3可化为10x=3—x ，x+lgx=3可化为lgx=3—x ，故此可认为是曲线y=10x、y= lgx 与直线y=3—x 的两个交点，而此两个交点关于y=x 对称，故问题迎刃而解。

答案：34、函数中的最值问题：1、 二次函数最值问题结合对称轴及定义域进行讨论。

典例：设a ∈R ，函数f （x ）=x 2+|x －a |+1，x ∈R ，求f （x ）的最小值． 考查函数最值的求法及分类讨论思想． 【解】（1）当x ≥a 时，f （x ）=x 2+x －a +1=（x +21）2－a +43 若a ≤－21时，则f （x ）在［a ，+∞］上最小值为f （－21）=43－a若a >－21时，则f （x ）在［a ，+∞）上单调递增f min =f （a ）=a 2+1（2）当x ≤a 时，f （x ）=x 2－x +a +1=（x －21）2+a +43 若a ≤21时，则f （x ）在（－∞，]a 单调递减，f min =f （a ）=a 2+1 当a >21时，则f （x ）在（－∞，]a 上最小值为f （21）=43+a综上所述，当a ≤－21时，f （x ）的最小值为43－a当－21≤a ≤21时，f （x ）的最小值为a 2+1当a >21时，f （x ）的最小值为43+a2、 利用均值不等式典例：已知x 、y 为正数，且x 222y +=1，求x 21y +的最大值分析：x 21y+=）（221y x +=21222）（y x +（即设法构造定值x 222y +=1）=）（21222y x +221222y x ++≤=423故最大值为423 注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos θ，2y =sin θ求解，（解略）3、 通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。

4、 利用函数的单调性 典例：求t 21322+++t 的最小值（分析：利用函数y=xx 1+在（1，+∞）的单调性求解，解略）5、 三角换元法（略）6、 数形结合例：已知x 、y 满足x 422=+y ，求65--x y 的最值 5、抽象函数的周期问题已知函数y=f （x ）满足f （x+1）= —f （x ），求证：f （x ）为周期函数证明：由已知得f （x ）= —f （x —1），所以f （x+1）= —f （x ）= — （—f （x —1）） = f （x —1）即f （t ）=f （t —2），所以该函数是以2为最小正周期的函数。

解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解二、圆锥曲线1、 离心率圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0<e<1）、抛物线（离心率e=1）、双曲线（离心率e>1）。

2、 焦半径椭圆：PF 1=a+ex 0、PF 2=a-ex 0（左加右减）（其中P 为椭圆上任一点，F 1为椭圆左焦点、F 2为椭圆右焦点）注：椭圆焦点到其相应准线的距离为c ca -2双曲线：PF 1= |ex 0+a|、PF 2=| ex 0-a|（左加右减）（其中P 为双曲线上任一点，F 1为双曲线左焦点、F 2为双曲线右焦点）注：双曲线焦点到其相应准线的距离为ca c 2-抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用） 圆锥曲线中的面积公式：（F 1 、F 2为焦点）设P 为椭圆上一点，21PF F ∠=θ，则三角形F 1PF 2的面积为：b 2tan2θ三角形中利用余弦定理整理即可 注：|PF 1| |PF 2|cos22θ=b 2为定值设P 为双曲线上一点，21PF F ∠=θ，则三角形F 1PF 2的面积为：b 2cot 2θ注：|PF 1| |PF 2|sin22θ=b 2为定值附：三角形面积公式： S=21底⨯高=21absinC=R abc 4=21r （a+b+c ）=（R 为外接圆半径，r 为内切圆半径）=)())()((为三角形周长的一半l c l b l a l l ---（这就是著名的海伦公式）三、数列求和裂项法：若{}n a 是等差数列，公差为d （0≠i a ）则求13221++⋯++=n n n a a ba ab a a b s 时可用裂项法求解，即n s =d b（13221111111+-+⋯+-+-n n a a a a a a ）=11+n a a bn求导法： （典例见高三练习册p86例9） 倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18）分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1即可 四、向量与直线向量（a ，b ），（c ，d ）垂直的充要条件是ac+bd=0 向量（a ，b ），（c ，d ）平行的充要条件是ad —bc=0附：直线A 1x+B 1y+C 1=0与直线A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是A 1 A 2+ B 1 B 2=0直线A 1x+B 1y+C 1=0与直线A 2x+B 2y+C 2=0平行的充要条件是A 1 B 2 -A 2 B 1=0 向量的夹角公式：cos θ=||||b a ba⋅⋅ 注1：直线的“到角”公式：1l 到2l 的角为tan θ=12121k k k k +-；“夹角”公式为tan θ=|12121k k k k +-|（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，之间的角） 注2：异面直线所成角的范围：（0，2π] 注3：直线倾斜角范围[0，π） 注4：直线和平面所成的角[0，2π] 注5：二面角范围：[0，π] 注6：锐角：（0，2π） 注7：0到2π的角表示（0，2π] 注8：第一象限角（2k π，2k π+2π） 附：三角和差化积及积化和差公式简记 S + S = S C S + S = C S C + C = C C C — C = — S S五、集合1、集合元素个数的计算card （A C B ）=card （A ）+ card （B ）+ card （C ）—card （A B ）—card （C B ）—card（C A ）+card （A B C ）（结合图形进行判断可更为迅速）2、从集合角度来理解充要条件：若A ⊂B ，则称A 为B 的充分不必要条件，（即小的可推出大的）此时B 为A 的必要不充分条件，若A=B ，则称A 为B 的充要条件 经纬度六、二项展开式系数：C 0n +C 1n +C 2n +…C nn =2n （其中C 0n + C 2n + C 4n +…=21-n ；C 1n +C 3n + C 5n +…=21-n ）例：求（2+3x ）100展开式中 1、所有项的系数和 2、奇数项系数的和 3、偶数项系数的和方法：只要令x 为1或—1即可七、离散型随机变量的期望与方差E （a ξ+b ）=aE ξ+b ；E （b ）=b D （a ξ+b ）=a 2D ξ；D （b ）=0D ξ=E ξ2—（E ξ）2特殊分布的期望与方差（0、1） 分布：期望：E ξ=p ；方差D ξ=pq 二项分布： 期望E ξ=np ；方差D ξ=npq注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。

八、圆系、直线系方程经过某个定点（00y x ，）的直线即为一直线系，可利用点斜式设之（k 为参数） 一组互相平行的直线也可视为一直线系，可利用斜截式设之（b 为参数）经过圆f （x 、y ）与圆（或直线）g （x 、y ）的交点的圆可视为一圆系，可设为：f （x 、y ）+λg （x 、y ）=0（此方程不能代表g （x 、y ）=0）；或λf （x 、y ）+g （x 、y ）=0（此方程不能代表f （x 、y ）=0）附：回归直线方程的求法：设回归直线方程为y ∧＝bx ＋a ，则b ＝∑∑=-=--ni i ni ii xn x xyn yx 1221—a ＝-y －b -x九、立体几何（一）1、欧拉公式：V+F —E=2（只适用于简单多面体） 利用欧拉公式解题的关键是列出V 、F 、E 之间的关系式 棱数E=21（每个顶点出发的棱数之和）=21（每个面的边数之和）（常用）2、长方体的三度定理长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和 推论A 、 若对角线与各棱所成的角为α、β、γ，则：cos 2α+cos 2β+cos2γ=1 sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2B 、 若对角线与各面所成的角为α、β、γ，则：cos 2α+cos 2β+cos2γ=2 sin 2α+sin 2β+sin 2γ=13、三角形“四心”重心：三边中线交点 垂心：三边高线交点内心：角平分线交点（内切圆圆心） 外心：垂直平分线交点（外接圆圆心）若三角形为正三角形，则以上“四心”合称“中心”引申：若三棱锥三个侧面与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心若三棱锥三条侧棱与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心若三棱锥三条侧棱两两垂直，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心若该三棱锥为正三棱锥，则其顶点在底面的射影为底面三角形的中心4、经度纬度九、立体几何（二）一、“共”的问题1．多点共线：先证其中两点确定一条直线，然后其余点均在该直线上。