2
2a 3
Fa2 2
a
5Fa3 6EI
X1
1P
11
F 2
F
B a
C a
F
X1 X1 B a
C a
例3：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。 F
F
试求：刚架多余约束反力。
F 1
a
A
A
11
1 EI
a2 8
2 3
a 2
a3 4
7a3 24EI
a a
A
B
F
F
X1 X1
a
a
A
B
Δ1F
1 EI
(A) 强度提高,刚度不变
(B) 强度不变,刚度提高
(C) 强度,刚度都提高 (D) 强度,刚度都不变 答案：(C)
三、下图所示结构是
静不定机构
(A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
(a)图
(b)图
答案：(A)
二、下图所示结构是
静不定机构
(A) 1次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
1 F
Fa
例5：已知结构的弯曲刚度为EI， 试求对称轴上A截面的内力。
解：11
2a EI
,
Δ1F
Fa2 4EI
A
由 11X1 1F 0 得
X1
Fa 8
a
FSA 0
1
FNA
F 2
,
MA
Fa 8
A X1 F/2
a Fa
a
a
F 1
Fa/2 1
F/2
例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。 试求截面A处弯矩。
Fa2 2
a 2
Fa3 4EI
X1
1P
11
6F 7
例4：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架内最大弯矩
及其作用位置。
a Fa
A
B
C
a
E
D
a
解：
11
2a3 EI
,
Δ1F
Fa3 3EI
由 11X1 1F 0
得
X1
F 6
()
M max
5Fa 6
作用于固定端A
a Fa
A
B
C
a
E
D
a
a
X1
a aa
PR 3 AEI
11
1 EI
2 0
R
2sin
2
j
Rdj
R 3
4EI
X
1
1P
11
P
0.318P
讨论：已知图示半圆曲杆的
Me
弯曲刚度为EI，试求曲杆支
C
座A处垂直反力FAy。
R
A
B
解：
Me /2
C R X1 A
Me /2
R
R1
例15 半圆形曲杆ACB为直杆AD、BF铰接如图。曲杆及直杆的抗弯刚度均为
1
N1
1
1
1
1
约束反力三次静不定
2）解除B点约束，建立静定基
P
X1 X 3
1 1P
M2
l
0
M
P .M1 dx EI
0
X2
3）对静定基进行受力分析， 建立相当系统
4）研究B点竖直,水平位移 和转角建立正则方程
12
l
0
M 2.M1dx EI
0
13
l
0
EI。求D、F处的反力矩MD、MF（只考虑杆件的弯曲变形）。 P
解： 由对称性知 N＝P/2。 一、 分析图。由对称性取一半研
究，求B点水平位移使用莫尔积 分，在任一横截面上，
M NR(1 cosj) FRsinj
M R sin j
VBx
MM l EI
dx
PR 3 4EI
FR 3
4EI
VBx
D
NA
1 D
D
A,B,C,D,E,F
A
A
A M ( ) 1
3) 用E,A两截面将刚架截开, 取EA(1/3)段研究:
M ( ) NA.R.(1 cos )
1P
0
3 M P ( )M ( )Rd
EI
11
0
3
M
( )M
EI
( )Rd
例21、求图示结构的约束反力
P
P
A
CB
a
b
l
MP Pa
解：1）判断静不定种类及次数
1 8
5 6
1 2
29Fa3 48EI
由 11X1 Δ1F Δ 得
X1
29F 64
3EIΔ 4 a3
例2：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。 A
试求：刚架多余约束反力。
F
A
B
A
Байду номын сангаас
X1 X1 B
D
a
a
FD
C
D
C
a
a
A
F
F
11
2 EI
a2 2
2a 3
a3
5a3 3EI
D
Δ1F
1 EI
Fa2
X1
1F
11
F 22
F
C
B
A
FC A
B
X
1
FC
B
φ
A
C A
B
1
φ
例8、求图示结构 C
的约束反力
EI
EA
a
A EI l
B
P 解：1）判断静不定种类及次数
约束反力一次静不定
2）解除B点约束，建立静定基
3）对静定基进行受力分析，建立相当系统 4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相 对线位移，建立正则方程
使用莫尔积分，在任一横截面上，
M FRcos（j/4） j[/4，/2]
M R sinj
j[0，/2]
11
s
M2 ds
EI
1 EI
2 R sinj 2 Rdj R3
0
4EI
MM 1
1P
s
ds E I EI
2
4
FR
sin
j
4
R
sin
j
Rdj
FR3 8 2EI
,
ΔiF
n k 1
FNi,k FNF,k lk Ek Ak
例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一 下陷量Δ，试求刚架C处的反力。
a/2 F a/2
B
C
Δ a
A
解：
a/2 F a/2
F
a
B
C
Δ
Fa/2
X1
1
a
Fa/2
a
A
11
a3 EI
1 2
2 3
1
4a3 3EI
Δ1F
Fa3 EI
答案：(B)
四、下图所示结构是
静不定机构
(A) 0 次 (B) 2次 (C) 3次 (D) 4次
答案：(A)
例17、求图示结构梁DE的最大正应力σmax=?
a
B
A
1 1P 11.X1 0
X1
a
D
a
C
aE
P
1 P.a
1P
2 EI
.(1 .a.1 22
Pa.2 3
.1 2
a)
Pa3 6EI
2
解：1）判断静不定种类及次数
1 Pa
a
例20:求图示闭合圆形刚架在A截面上的弯矩 M A 因为A,E都是结构的对称截面
B
NE
所以: A,E截面上反对称的内力等于0
C
P
E
ME
E 即:A,E截面上只有轴力和弯矩 又因为CD是对称轴 NE NA且M E M A
以CD轴为Y轴: y 0
NE .cos30 N A.cos30 0
由11X1 Δ1F 0 得
X1
3qa 8
FBx 0, FAx 0,
FBy
3qa 8
FAy
11qa 8
,
M
A
qa2 8
逆时针
例13：已知刚架的弯曲刚度为EI。 q0
试求支座B处的反力。
C
解：
11
1 EI
a x12 dx1
0
a 0
a2
dx2
4a3 3EI
a A
Δ1F
1 EI
Ni .Ni EAi
.li
(7
6 2).P.a 3EA
0
0
0
0
0
0
0 0 0
11
10 Ni.Ni.li i1 EAi
(4 4 2).a EA
1
0
a
1 2Pa 3 a
2 2 2Pa 3 2 2a 1 4Pa 3 a
由正则方程
X1
即为杆AB的轴力
而原结构中其它各杆的轴力=？
2 4 2Pa 3 2 2a FNI Ni Xi.N i
a
a
q
解： 11
2a EI
,
Δ1F
qa3 EI
q
由 11X1 1F 0 得
a q A
a
M
A
X1
1 2
qa2
q
q
另解：
q
FS
2qa ,
MA
qa2 2
A X1
qa
FS
FS
例7: 1/4圆形曲杆ACB如图。半径为R，曲杆抗弯刚度为
EI。求:A、B处的反力矩（只考虑杆件的弯曲变形）。