快速求平面的法向量
用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。

不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。

结论：向量a r ＝(x 1，y 1，z 1)，b r
＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n r
＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量.
如果用二阶行列式表示，则
n r ＝(1
12
2
y z y z ，－
112
2
x z x z ，
112
2
x y x y ) ，这更便
于记忆和计算.
结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处
略去），但你可以验证 n r
一定满足0
m a m b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r r u
r r ⇔111222
00x x y y z z x x y y z z ++=⎧⎨++=⎩； 而且∵a r 、b r 不共线，∴n r 一定不是0r
.
怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明.
例、向量a r ＝(1，2，3)，b r
＝(4，5，6)是平
面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量
解：设平面α的法向量为n r
＝(x ，y ，z )，
则00n a n b ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r r r r ⇒2304560x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩ 令z ＝1，得n r
＝(1，－2，1).
注意：
① 一定按上述格式书写，否则易被扣分.
② n r
的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”.。