高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用平面的法向量仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。
平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。
2、平面法向量的求法斗■4方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］，在平面:内任找两个不共线的向量a,b 。
由n _ ：•，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此i方程组即可得到n 。
方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。
其法向量n -(A, B,C)；若平面与3个坐标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为•上 ］--1,称此方程为平面的截距a b c式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。
方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。
通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由..例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1),T T—f —f试求(1): a^b ； (2)： b 汉a.T TT TKey: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5)例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中,7T T T的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向^(x i ,y i ,z i ),^(x 2,r 「 T T丫2二2),则:a b =Z 2X 1乙 X 2 Z 2X1X2y 1 y 2(注：1、二阶行列式=ad —cb ； d2、适合右手定则。
x, y, z 的一次方程。
求平面AEF的一个法向量n。
key:法向量n二AF AE =(1,2,2)二、平面法向量的应用1、求空间角⑴、求线面角：如图2-1，设n是平面〉的法向量,AB是平面:-的一条斜线，A :,则AB与平面:所成的角为：图2-1-1: vT T nABn, AB arccos 、.2 2InllABI图2-1-2:二=：：：n, AB -T T兀n AB—=arccos ----------2I^I-I A BI »'sin J -| cos ：： n,AB」⑵、求面面角：设向量m, n分别是平面:- > :的法向量，则二面角-~ \ -:的平面角为:图2-2T T――m n Ev - ：m,n 二arccos （图2-2）；|m| |n|T T* * m n e--:m, n 二-arccos （图2-3）|m| |n |图2-3两个平面的法向量方向选取合适，可使法向量夹角就等于二面角的平面角。
约定，在图T2-2中，m的方向对平面T:'而言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面：而言向内。
我们只要用两个向量的向量积(简称"外积”，满足“右手定则”)使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角2、求空间距离(1)、异面直线之间距离方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量;②在直线a 、b 上各取一点 A B ,作向量AB ；③求向量 AB 在n 上的射影d ,则异面直线a 、b 间的距离为方法指导：如图2-7,两平行平面:-/■之间的距离:—f T|AB•n | 住 彳Rd，其中A ：,^ :。
n 是平面〉、：的法向量。
|n|3、证明(1 )、证明线面垂直：在图 2-8中，m 向是平面a 的法向量,证明平面的法向量与直线所在向量共线(m = ■ a )。
T(2)、证明线面平行：在图 2-9中，m向是平面a 的法向量,线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直(.... T(3) 、证明面面垂直：在图 2-10中，m 是平面a 的法向量, 面1的法向量，证明两平面的法向量垂直( m ・n =0)d 二〔AB *n 〔,其中 n _ a,n _ b, A ：= a,B ：= b |n| (2)、点到平面的距离： 方法指导：如图2-5,若点B 为平面 a 外一点，点A为平面 a 内任一点，平面的法向量为 n ，则点P 到平面a 的距离公式为d = | n | |F| (3)、直线与平面间的距离： 方法指导：如图2-6,直线a 与平面 :之间的距离:AB n ，其中 A ：,^ a 。
|n|n 是平面〉的法向量(4 )、平面与平面间的距离：mta图2-8(4) 、证明面面平行：在图 2-11中,m 向是平面a 的法向量，n 是平面B 的法向量，证明两平面的法向量共线T—f(m = - n )。
三、高考真题新解1、( 2005全国I , 18)(本大题满分12分) 已知如图3-1,四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB// DCN DAB =90 : PA 丄底面 ABCD 且 PA=AD=DC 1 AB=1, M 是 PB 的中点 + 2(I) 证明：面 PADL 面PCD (n)求AC 与 PB 所成的角；(川)求面 AMC 与面BMC 所成二面角的大小・解：以A 点为原点，以分别以AD AB, AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz 如图所示.(I). AP =(0,0,1), AD =(1,0,0)，设平面 PAD 的法向量为 m = AP AD =(0,-1,0)又 DC -(0,1,0) , DP =(-1,0,1)，设平面 PCD 的法向量为 n - DC DP =(1,0,1)T T _T T.m ・n=0, . m_n ，即平面 PAD _平面PCD2、(2006年云南省第一次统测 19题)(本题满分12分) 如图3-2，在长方体 ABC D ABCD 中， 已知 AB= AA = a , B C = .2 a, M 是 AD 的中点。
(I )求证：AD//平面ABC ； (n )求证：平面AMC_平面ABD ; (川)求点A 到平面AMC 的距离。
T T(II ). AC =(1,1,0), PB T T 一 r AC ・PB = (0,2,-1)，:: AC,PB 、=arccos — |AC(III )• CM =(-1,0,1),V10 -arccos ----- I IPB| 51 1 CA = (-1, -1,0)，设平在 AMC 勺法向量为 m 二 CM CA = (―, -一 ,1).2 2 又CB =(-1,1,0),设平面 PCD 的法向量为n -CM CB 巳-1,-1,-". 2 2T Tm ・n T T::m, n = arccos- > 》|m||n|二 arccos (一彳).-面AMC 与面BMC 所成二面角的大小为2 、 2 arccos( ).[或 恵一arccos —]3 3解：以D点为原点，分别以DA,DC,DD为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.(I). BC =(-._2a,0,0) , BA =(0,-a,a),设平面 ABC 的法向量为 n 二 BC BA , = (0, . 2a 2,.. 2a 2)又.A& =( _.._2a,0,0), . n ・AD =0,. AD _ n ,即 AD// 平面 ABC.(II ). MC N^aQa), MA , =(2a,a,0), 设平面A ,MC 的法 向量为2 2m 〔MC MA , =(a 2'a 2,-二 a 2),2 2又：BD , =(—J2a,—a,a), BA , =(0,£,a),设平面 ABD 的法向量为：n = BD , x BA , = (0, J2a 2, J2a 2),T T _ T T二 m*n = 0,二 m 丄 n ,即平面 A ,Md 平面 ABD.（III ）.设点A 到平面AMC 的距离为d, —> T—」|m*MA|AMC 的距离为：d 二|m|四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”⑴、建立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件 ，相关几何知识的综合运用，建立右手系），用空间向量表示问题中涉及的点、 直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题） （2） 、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算）（3） 、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）m 〔MC MA , =(a 2,^a 222 2a 2）是平面AMC 的法向量, 2 —■ -■ 2又MA =(Ua,0,0), A 点到平面1 a . 2。