|
x2 − 2x2 +1
1 |= 2
1 2(2 x2
+ 1)
<
1 x2
<ε
→
x>
1 ε
取X =
1 ε
，当| x |>
X
,
|
2
x2 x2 +
1
−
1 2
|<
ε
，所以
lim
x→∞
x2 2x2 +
1
=
1。 2
四、证明 lim x = 1，并求正数 X ，使得当 x > X 时，就有| x −1|< 0.01 .
;
根据
lim
k→∞
x2k
= a ,存在 N2>0,
当 k>N2 时 | x2k
− a |< ε
.
取N
=
2max( N1, N 2) + 1，当
n>N
时|
xn
− a |<
ε
，所以
lim
n→∞
xn
=
a。
四川大学数学学院高等数学教研室编
2
学院
姓名
学号
一、根据函数极限的定义证明下列极限：
日期
1.3 函数的极限
证明：对任意ε，解不等式 | 2n − 3 − 2 |= 17 < 1 < ε → n > 1
5n + 1 5 5(5n + 1) n
ε
取 N = [ 1 ]，当 n>N 时| 2n − 3 − 2 |< ε ，所以 lim 2n − 3 = 2 。
ε
5n + 1 5
n→∞ 5n + 1 5
（3） lim( n + 1 − n) = 0 ； n→∞
时， lim x sin 1 = 0 ，即 f (x) = x sin 1 为无穷小；
0 <|
x−
x0
|< δ
,|
f (x)−
A |< ε
，所以 lim x→ x0
f (x) =
A。
(必要性)显然
九、设 f (x) =| x | ，求 lim f (x) ， lim f (x) 和 lim f (x) .
x→0−
x→0+
x→0
解 ： lim f (x) = 1, lim f (x) = 1, lim f (x) = 1.
证明：对任意ε， 解不等式 | 4x − 1 − 11 |= 4 | x − 3 |< ε ⇒| x − 3 |< ε 4
取δ = ε ，当 0 <| x − 3 |< δ , | 4x − 1 − 11 |< ε ，所以 lim(4x −1) = 11。
4
x→3
当ε=0.0001，δ = 0.000025
证明：设 lim x→ x0
f (x) =
A ，.对ε=1，存在δ
>
0, 当 0 <|
x−
x0
|< δ
时， |
f (x)−
A |< 1。
即1 − A < f ( x) < 1 + A ，函数 f (x) 在 x0 的某个去心邻域内有界.
八、证明：函数 f (x) 当 x → x0 时的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限均存在并
证明：对任意ε>0， 解不等式 | x2 − 4 + 4 |=| x + 2 |< ε x+ 2
取δ = ε ，当 0 <| x + 2 |< δ , | x2 − 4 + 4 |< ε ，所以 lim x2 − 4 = −4 。
x+2
x→−2 x + 2
二、证明 lim(4x −1) = 11，并求正数δ ，使得当| x − 3 |< δ 时，就有| (4x −1) −11|< 0.001. x→3
（1） lim(5x + 2) = 12 ； x→2
证明：对任意ε>0，解不等式 | 5x + 2 − 12 |= 5 | x − 2 |< ε →| x − 2 |< ε 5
取δ = ε ，当 0 <| x − 2 |< δ , | 5x + 2 − 12 |< ε ，所以 lim(5x + 2) = 12 。
5
学院 一、填空题
姓名
学号
日期
1.4 无穷小与无穷大
（1）当 x → ∞ 时， 1 是无穷小；当 x → 1 时， 1 是无穷大.
x −1
x −1
1
1
（2）当 x → 0− 时， e x 是无穷小；当 x → 0+ 时， e x 是无穷大.
（3）当 x → 1 时， ln x 是无穷小；当 x → 0+ 时， ln x 是负无穷大；
x→0−
x→0+
x→0
十、设 f (x) = sgn x ，求 lim f (x) ， lim f (x) 和 lim f (x) .
x→0−
x→0+
x→0
解 ： lim f (x) = −1, lim f (x) = 1, lim f (x) 不存在.
x→0−
x→0+
x→0
四川大学数学学院高等数学教研室编
5
x→2
（2） lim x2 = 4 ； x→2
证明：对任意ε>0，(| x − 2 |< 1 ) 解不等式 | x2 − 4 |<| x − 2 |< ε
取δ = min(1,ε ) ，当 0 <| x − 2 |< δ , | x2 − 4 |< ε ，所以 lim x2 = 4 。 x→2
（3） lim x2 − 4 = −4 . x→−2 x + 2
x→−∞
x→+∞
x→∞
解: lim arctan x = − π , lim arctan x = π , lim arctan x 不存在
x→−∞
2 x→+∞
2
x→∞
（2） lim sgn x ， lim sgn x 和 lim sgn x
x→−∞
x→+∞
x→∞
解: lim sgn x = −1 ， lim sgn x = 1 ， lim sgn x 不存在
（√）
（2）两个无穷大的和也是无穷大.
（×）
（3）无穷小与无穷大的和一定是无穷大.
（√）
（4）无穷小与无穷大的积一定是无穷大.
（×）
（5）无穷小与无穷大的积一定是无穷大.
（×）
（6）无穷大与无穷大的积也是无穷大.
（√）
五、举例说明：
（1）两个无穷小的商不一定是无穷小； （2）无限个无穷小的和不一定是无穷小.
| x |> X ,| f ( x) − A |< ε ，所以 lim f (x) = A 。 x→∞
(必要性)显然
四川大学数学学院高等数学教研室编
4
学院
姓名
学号
日期
六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：
1.3 函数的极限
（1） lim arctan x ， lim arctan x 和 lim arctan x ；
x→−∞
x→+∞
x→∞
（3） lim ex ， lim ex 和 lim ex .
x→−∞
x→+∞
x→∞
解: lim ex = 0 ， lim ex = +∞ ， lim ex 不存在
x→−∞
x→+∞
x→∞
七、证明：若 lim x → x0
f (x) 存在，则函数
f (x) 在 x0 的某个去心邻域内有界.
证明:
取 xk
= 2kπ
+ π ,(k 2
> 0),
f (xk ) = 2kπ
→ +∞ ，f (x) =
xsin x 在 (0，+ ∞) 内无界；
取 xk = 2kπ , (k > 0), f (xk ) = 0 ，当 x → +∞ 时， f (x) 不是无穷大.
四、判断下列命题的正确性：
（1）两个无穷小的和也是无穷小.
x→∞
x → −∞
x → +∞
证明：(充分性)根据 lim f (x) = A ， lim f (x) = A .对任意ε>0，存在 X 1 > 0, X 2 > 0 ，
x → −∞
x → +∞
当 x > X 1 或 x < − X 2 时 ， | f ( x) − A |< ε 。 取 X = max( X1, X 2) ， 当
当 x → __+∞ 时， ln x 是正无穷大.
二、选择题
当 x → 0 时，函数 1 cos 1 是（ D ）. xx
（A）无穷小；
（B）无穷大；
（C）有界的，但不是无穷小； （D）无界的，但不是无穷大.
三、证明函数 f (x) = x sin x 在 (0，+ ∞) 内无界，但当 x → +∞ 时， f (x) 不是无穷大.
证明：对任意ε，解不等式
|
n+1−
n − 0 |=
1 n+1+
< n
1 n
<
ε
→
n
>