高等数学课后习题及解答1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v .解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ）=5a -11b +7c .2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知AM = MC ， DM故MB .ABAM MB MC DM DC .即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD是平行四边形.3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向量证 如图 8-2 ，根据题意知1D 1 A ,1 D2 A , D3 A , D A .41D 3 D 4BD 11a,5a,D 1D 2a,551 D 2D 3a,5故 D 1 A =- （ ABBD 1）=- a- c5D 2 A =- （ ABD A =- （ ABBD 2BD）=- ）=- 2a- c5 3a- c3=- （ AB3BD 4）=-54a- c. 54. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 .解M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） .-2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）.5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 .a解 向量 a 的单位向量 为，故平行向量 a 的单位向量为aa 1=（ 6，7， -6）=6, 7 , 6 ， a1111 11 11其 中a6272( 6)211.6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A （1，-2，3），B （ 2， 3，-4），C （2，-3，-4），D （-2，-3， 1）.解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 .7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A （ 3， 4， 0），B （ 0， 4，3），C （ 3，0，0），D （ 0，D A4-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz 面上的点的坐标为（ x0，0，z0），yOz 面上的点的坐标为（0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（ x0，0，0），y 轴上的点的坐标为（ 0，y0，0）， z 轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A 点在 xOy 面上，B 点在 yOz 面上，C 点在 x 轴上，D 点在 y 轴上.8.求点（ a，b，c）关于（ 1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（ a，b，c）关于xOy 面的对称点（a，b， -c），为关于 yOz面的对称点为（ -a，b，c），关于zOx面的对称点为（ a，-b，c）.（2）点（ a，b，c）关于x 轴的对称点为（ a，-b，-c），关于y轴的对称点为（ -a，b，-c），关于 z 轴的对称点为（-a，-b，c）.（3）点（ a，b，c）关于坐标原点的对称点是（ -a，-b，-c）.9.自点 P（0 x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标 .解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意， P0F 为点P0 关于xOz(x0，0，z0）； P0D 为点 P0关于 xOy 面的垂面的垂线，垂足 F 坐标为线，垂足 D 坐标为( x0，y0，0）； P0E 为点 P0 关于 yOz 面的垂线，垂足 E坐标为(0，y，z o ) .P0A 为点 P0 关于 x 轴的垂线，垂足A 坐标为( x o，0,0）；P0B 为点P关于 y 轴的垂线，垂足 B 坐标为(0, y,0) ；P0C为点 P0关于 z 轴的垂线，垂足 C 坐标为(0,0, z) .11. 一边长为 a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在 x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.2解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB= a ，于是各顶点的坐2标分别为 A(2a，0，0) ，B（(0,22 2a，0）），C（- a，0，0），D2 2（0，-2a ，0），E（22a ，0，a ），F（0，22a ，a ），G（-22a ，20，a ），H（0，-2a ，a ）. 212. 求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M 到 x 轴的距离为d1=( 3) 25234 ，点 M 到 y轴的距离为d2=425241 ，点M 到z 轴的距离为d3= 42( 3)225 5.13.在 yOz 面上，求与三点 A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点 .解所求点在 yOz 面上，不妨设为P（0，y，z），点 P 与三点 A，B，C等距离，PA32( y 1)2(z 2)2 ,PB 42( y 2)2(z 2)2 ,PC( y 5)2( z 1)2 .由PA PB PC 知，32( y 1)2( z 2)242(y2)2( z 2)2( y 5) 2( z 1) 2，即解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2）. 14.试证明以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证由AB(1 0 4)2( 11)2(6 9)2 7,AC( 2BC( 2 4)210)2(4 1) 2(41)2(3 9)2 7,(3 6)2 98 7 2知AB2AC 及 BC2AB AC2.故△ ABC为等腰直角三角形.15. 设已知两点为M1（4，2 ，1），M 2（3，0，2），计算向量的模、方向余弦和方向角. M1M29 ( y 1) 2( z 2) 216 ( y 2) 2( z 2)2, 9 ( y 1) 2( z 2) 2( y 5) 2( z 1)2.解向量M1M2=（3-4，0- 2 ，2-1）=（-1，- 2 ，-1），其模M 1M 2（-1）2（-2）2 12 4 2 .其方向余弦分别为 cos =-1 ， cos =-22 1，cos = .22方向角分别为2 ,3 ,.34316. 设向量的方向余弦分别满足（ 1）cos =0；（2）cos =1；（ 3） cos =cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 （1）由 cos =0 得知 ，故向量与 x 轴垂直，平行于2yOz 面.（2） 由 cos =1 得知 =0，故向量与 y 轴同向，垂直于 xOz 面.（3） 由 cos =cos =0 知，故向量垂直于 x 轴和 y 轴，2即与 z 轴平行，垂直于 xOy 面.17. 设向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角为 ，求 r 在 u 轴上的投影 .31解 已知|r |=4 ，则 Prj u r=| r |cos=4?cos3=4×2=2.18. 一向量的终点在点 B （2，-1，7），它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4， -4 和 7，求这向量的起点 A 的坐标.解 设 A 点坐标为（ x ，y ， z ），则AB =（ 2-x ，-1-y ，7-z ），由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故 x=-2，y=3，z=0，因此 A 点坐标为（ -2， -3， 0）.19. 设 m =3i +4j +8k ，n =2i -4j -7k 和 p =5i +j -4k . 求向量 a =4m +3n -p 在 x 轴上的投影及在y 轴上的分向量 .解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（ 5i+j-4k）=13i+7j+15k，a 在 x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为 7j.1. 设a3 i j 2k,b i 2jk ，求（1）a余弦. b及a b；（2）（-2a）3b及a 2b；（3）a,b 的夹角的解（1）a b （3，- 1，-2）（1,2，- 1）3i j k 1 （ -1）2（-2）（ - 1）3，a b 3 11 2 2 =（5,1,7）. 1（2）(2a) 3b 6(a b) 6 3 18a 2b 2(a b)2(5,1,7)a b (10,2,14)3（3 cos(a,b)a b3 32(31)2 ( 2)2 1222(1)214 6 2 212. 设a, b,c 为单位向量，满足 a bc0,求a b b c c a.解已知 a b c 1, a b c 0,故（a b c）（ab c）0 .22 2即a b c2a b 2b c 2c a 0.因此a b b c c a 1 2 2（ a b22 3c ）-23.已知 M1（1，-1，2），M2（3,3,1）M 3（3,1,3）.求与同时垂直的单位向量 .M1M 2 , M 2 M 3解M 1M 2 =（ 3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）M 2 M 3=（3-3,1-3,3-1）=（ 0，-2，2）由于M 1M 2取为M2M3与M 1M 2,M2M3同时垂直，故所求向量可a （M1M 2M 2M 3），M 1M 2M 2M 3由M 1M 2iM2M3= 2j k4 1 =（6，-4，-4），2 2M 1M2知aM2M361(6, 4, 4)( 4)2((3,4)22,682).2 17 2 17 17 17 174.设质量为 100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为 z 轴负方向） .解M 1M 2 =（ 1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（ 0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）W=F?M 1M 2 =（0,0，-980）?（-2,3 ，-6 ）=588（0J）.5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1 的点 P1 处，有一与OP1成角1的力 F1 作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2 的点 P2 处，有一与OP2成角 2 的力 F2 作用着（图 8-6 ），问1 ， 2 ，x1，x2，F1 , F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6 ，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代2数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为F1即F1x1sin 1x1sin 1F2 x2F2 x2sinsin20 ，2.6.求向量a （4，-3,4）在向量b（2,2,1）上的投影.a b( 4,3,4) (2,2,1) 6解Pr j b ab2 .22 22 12 37.设a(3,5, 2),b (2,1,4)，问与有怎样的关系，能使a b与 z 轴垂直？解 a b = （3,5 ，-2 ）+ （2,1,4 ）=（3 2,5, 2 4 ）.要 a b与z 轴垂直，即要（ a b ）（0,0,1 ），即（ a b）?（0，0,1 ）=0，亦即（3 2 ,5 , 2 4 ）?（0,0,1 ）=0，故（ 2 4 ）=0，因此 2 时能使 a b与 z 轴垂直.8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.证如图 8-7 ，设 AB是圆 O的直径，C点在圆周上，要证∠ ACB= ，2 只要证明AC BC 0 即可. 由AC BC =( AO OC) ( BO OC)= AOBOAO OC 2OC BO OC2=AO AO OCAO OC2OC0 .故 ACBC , ∠ACB 为直角.9. 已知向量a2i 3jk, b ij 3k 和c i 2 j ，计算：（1）(ab)c (ac)b（2）(ab) (b c)（3）(ab) c解 （1）(a b)c(a c)b8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0, 8, 24)8i 24k .（2）ab =（2，-3,1 ）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），b c =（ 1， -1,3 ） +（ 1， -2,0）=（ 2， -3,3 ），i j kab (2, 3,1) (1, 1,3) 8，a c (2, 3,1) (1, 2,0) 8，(a b) (b c) 3 4 4 (0, 1, 1) j k.2 3 3i j kOA OB 1 0 3 ( 3, 3,1)，0 1 3而由行列式的性质知a ab b22 a x a y a z b x b y b z c x c y c zb x b yc x c y a x a y b z c x c z = a x a z b xc y c z a y a z ， 故 b y b z(a b) c (b c) a (c a) b .12. 试用向量证明不等式：222 2123 123a 1b 1a 2b 2 a 3b 3 ，其中 a 1, a 2 ,a 3 , b 1, b 2 ,b 3 为任意实数 . 并指出等号成立的条件. 证 设向量 a（ a 1 , a 2 , a 3 ）， b（ b 1, b 2 ,b 3 ）.由a ba bcos(a,b)a b ，从而a 1b 1 a 2b 2 a 3b 322a 1 a 2a 1 222a 3b 1b 2a 2 a 32b 3 ，当 a 1, a 2 , a 3与 b 1, b 2 ,b 3 成比例，即b 1b 2时，上述等式成立.b 3a b1. 求过点（ 3,0，-1）且与平面 3x 7 y 程.解 所求平面与已知平面3x 7 y5z 125z 12 0 平行的平面方0 平行.因此所求平面的法向量可取为 n=（3，-7，5），设所求平面为3x 7 y 5z D 0.将点（ 3，0， -1）代入上式得 D=-4.故所求平面方程为3x 7 y 5z 4 0 .2. 求过点 M 0（ 2，9， -6）且与连接坐标原点及点 M 0 的线段 OM 0 垂直的平面方程 .解OM 0(2,9,6）.所求平面与OM 0 垂直，可取 n= OM 0 ，设所求平面方程为2x 9 y6z D 0.将点 M 0（ 2，9， -6）代入上式得 D=-121.故所求平面方程为2x 9 y 6z 121 0.3. 求过（ 1，1， -1），（-2， -2， 2）和（ 1，-1，2）三点的平面方程 .x 1y 1 z 10 ，得 x 3 y 2z 0 ，即为所求平面方程 .注 设 M （ x,y,z ）为平面上任意一点，M i( x i , y i , z i)(i1,2,3) 为平面上已知点 .由M 1M(M 1M 2 M 1M 3) 0, 即解 由2 1 2 1 2 11 11 12 1x x1 x2x1 x3x1y y1y2y1y3y1z z1z2z10,z3z1它就表示过已知三点M i（i=1,2,3）的平面方程 .4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0; （2）3y-1=0;（3）2x-3y-6=0; （4）x- 3y=0;（5）y+z=1; （6）x-2z=0;（7）6x+5y-z=0.解（1）—（ 7）的平面分别如图 8—8（a）—（ g）. （1）x=0 表示 yOz 坐标面.（2）3y-1=0 表示过点（0,1,0）且与 y 轴垂直的平面 . 3（3）2x-3y-6=0 表示与 z 轴平行的平面 . （4）x- 3y=0 表示过 z 轴的平面 .（5）y+z=1表示平行于x 轴的平面 . （6）x-2z=0 表示过 y 轴的平面 .（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.5. 求平面 2x2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦 .解 平面的法向量为 n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面 xOy ，yOz ，zOx 的夹角分别为1,2, 3 .则根据平面的方向余弦知coscosn k (2, 2,1) (0,0,1) 1 ,n k22(2)212 1 3 cos 2 cosn i ( 2, n i2,1) 3 (1,0,0) 2 ,13 cos 3 cosn j ( 2, n j2,1) 3 ( 0,1,0) 2.1 36. 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量 a 试求这个平面方程 .(2,1,1) 和b(1, 1,0) ，解 所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量1i j kn a b 2 1 1 (1,1, 3) .1 1 0故所求平面为 1 ( x 1)1 ( y 0) 3( z 1) 0，即x y 3z 4 0 .7. 求三平面 x 3y 交点.z1,2xy z 0, x 2 y 2z 3的解 联立三平面方程x 3y 2x y x 2yz 1, z 0, 2z 3.解此方程组得 x1, y 1, z3.故所求交点为（ 1， -1，3） .8. 分别按下列条件求平面方程：（ 1）平行于 xOz 面且经过点（ 2，-5， 3）； （ 2）通过 z 轴和点（ -3，1， -2）；（ 3）平行于 x 轴且经过两点（ 4， 0，-2）和（ 5，1， 7） . 解（ 1 ）所求平面平行于 xOz 面，故设所求平面方程为By D 0.将点（ 2，-5，3）代入，得5B D 0，即 D 5B .因此所求平面方程为By 5B0，即 y 5 0.（2） 所求平面过 z 轴，故设所求平面为 AxBy 0 .将点（ -3，1，-2）代入，得3A B0，即B 3A .因此所求平面方程为Ax 3Ay0 ，即x 3y0.（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By Cz D 0. 将点（ 4，0， -2）及（ 5， 1， 7）分别代入方程得2C D 0 及C D,B 2B 7CD 0.9D .2因此，所求平面方程为9Dy 2 Dz D0 ，2即9 y z 2 0.9. 求点（ 1,2,1）到平面x 2 y 2z 10 0 的距离.解利用点的距离公式M 0( x,y o ,z o )到平面Ax By Cz D 0d Ax0By0Cz0 DA2 B 2 C 21 2 2 2 1 10 3 1.12 22 22 3x 3 y1. 求过点（ 4，-1，3）且平行于直线2 1 z 1的直线方程 . 5解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s (2,1,5)，直线方程即为x 4 y 1 z 3.2 1 52. 求过两点M 1(3, 2,1) 和M 2(1,0,2) 的直线方程 .解取所求直线的方向向量s M1M2( 13,0( 2),2 1) ( 4,2,1) ，因此所求直线方程为x 3 y 2 z 1.4 2 1 3. 用对称式方程及参数方程表示直线x y 2 x y z 1, z 4.解根据题意可知已知直线的方向向量i j ks 1 1 1 ( 2,1,3).2 1 1取 x=0，代入直线方程得y z 1,y z 4.3 5解得y3,z25.这2样就得到直线经过的一点（0, ,2 ）.因此直线的对称式方程为2参数方程为3 5 x 0y2z22 1 3x 2t ,y3t ,2z 53t.2注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的.4. 求过点（ 2， 0，-3）且与直线x 2 y3x 5 y 4z 7 0, 2z 1 0垂直的平面方程 .解根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即i j n s 1 23 5 k4 ( 16,14,11), 2故所求平面方程为16(x16x2)14y14( y 0)11z 6511(z 3)0.0.即5 x 5. 求直线3x3y 3z 9 2 y z 1.0, 2 x2 y 与直线 0 3x 8 yz 23 0, z 18 0的夹角的余弦 .解两已知直线的方向向量分别为i s1 53 j k3 3 (3,4,2 11),s2i j k2 2 13 8 1(10, 5,10),因此，两直线的夹角的余弦cos (coss1,s2)s1s2s1 s23 1045 1 100.32 x 2 y 42 ( 1) 2 102(z 7, 3x5)2 1026 y 3z 8,6. 证明直线2x y与直线z 7平2x y z 0行.证已知直线的方向向量分别是i j s1 1 22 1 k i1 (3,1,5), s231 2j k6 3(1 19, 3, 15),由s2 3s1知两直线互相平行 .7. 求过点（0,2,4）且与两平面x方程.2 z 1和y 3z 2平行的直线解所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量可取i j ks n 1 n 2 1 0 2( 2,3,1),0 13故所求直线方程为x 0 2y 2 z 4.3 1注 本题也可以这样解： 由于所求直线与已知的两个平面平行， 则可视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线， 不妨设所求直线 为x 2z a, y 3z b.将点（ 0，2， 4）代入上式，得 a8,b10.故所求直线为x 2z 8, y 3z8. 求过点（ 3， 1，-2）且通过直线解 利用平面束方程，过直线的平面方程 .的平面束方程为x 4 y 3 52( y 3 z) 0, 2 将点（ 3，1， -2）代入上式得11.因此所求平面方程为 20x 4 y 35210.x 4 y3z5 x 4 y 2 31 z5 2 111 ( y 3 z) 0, 20 2即9. 求直线8x 9yx y 3z22z 59 0.0,与平面x y z 1 0的夹角. x y z 0i解已知直线的方向向量s 11 j k1 3( 2,4,1 12), 平面的法向量n(1, 1, 1).设直线与平面的夹角为, 则sin cos(n, s) s n 2 1 4 ( 1) ( 2) ( 1)0,即0.s n 2242 ( 2)2 12( 1)2 ( 1)2 10. 试确定下列各组中的直线和平面间的关系；x 3 y 4 （1）2 7x y z z和4x 2y32z 3 ；（2）3和3x 2y2 77z 8；（3）x 23 y 2 z13和x 4y z 3.解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n ，直线与平面的夹角为, 且sin cos(n, s) s n. s n(4, 2, 2), （1）s ( 2, 7,3),nsi n(( 2)22) 4 ( 7)( 7)2 32( 2)423 ( 2)( 2)2(0,2)2则0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A（-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点 A 不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2）s(3, 2,7),n(3, 2,7), 由于s n 或si n332(3 ( 2)2)2 72( 2)327 71,( 2)2 72知，故直线与平面垂直 .2（3）s(3,1, 4),n(1,1,1), 由于s n 0或si n3 1 11( 4) 10, 32 12 (4)212 12 12知0, 将直线上的点A（2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点 A 在平面上 .故直线在平面上.11.求过点（ 1,2,1）而与两直线x 2y x yz 1 0,和z 1 02 x yx yz 0,z 0平行的平面的方程.解两直线的方向向量为i s1 11 j k2 1 (1,1 1i2, 3), s2 21j k1 1 (0, 1,1 11),i 取n s1s2 1 j k2 3(1,1, 1),0 1 1则过点（ 1,2,1），以n 为法向量的平面方程为1 ( x 即1) 1 ( y 2)x y z 0.1 ( z 1) 0,12.求点（ -1,2,0）在平面x 2y z 1 0上的投影 .解作过已知点且与已知平面垂直的直线.该直线与平面的交点即为所求 .根据题意，过点（-1,2,0）与平面x 2y z 1 0垂直的直线为x 1 y 2 1 2 z 0,1将它化为参数方程x 1t ,y 22t,zt ,代入平面方程得1 t 2(2 2t ) ( t ) 1 0,2整理得t .从而所求点（-1,2,0）在平面x 2y3z 1 0 上的投影为（5,2,2）.3 3 3 x y z 1 0,13.求点 P（ 3，-1，2）到直线2x y z 4 0的距离.i 解直线的方向向量s 12j k1 1 (0, 3,1 13).在直线上取点（ 1，-2， 0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式x 1,y 2 3t ,z3t. （1）又，过点 P（3，-1，2），以s (0, 3, 3) 为法向量的平面方程为3( y 1) 3( z 2) 0,即y z 1 0. （2）1将式（1）代入式（2）得t ，于是直线与平面的交点为（1,2 1,3），2 2故所求距离为d( 3 1)2( 11)22(23)223 2.214. 设 M0 是直线 L 外一点， M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到直线L 的距离M 0M sd .s证如图8-9，点 M0 到直线L 的距离为 d.由向量积的几何意义知MM s 表示以MM ，s为邻边的平行四边形的面积 .而M 0Ms s表示以s 为边长的该平面四边形的高，即为点M 0 到直线L的距离.于是M 0M sd .s15. 求直线2 x 4 y z3x y 2z0,在平面4x9 0y z 1上的投影直线的方程 .解作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.设过直线2x 4 y z3x y 2z0,的平面束方程为9 02x 4y z (3xy 2z 9) 0,经整理得(2由(2 313 3 )x ( 4) 4 ( 4) y (1 2 ) z 9 0.) ( 1) (1 2 ) 1 0,得.代入平面束方程，得1117x 因此所求投影直线的方程为17x 31y31y37z37z117 0.117 0,4x y z 1.16. 画出下列各平面所围成的立体的图形.（1）x 0, y 0, z 0, x 2, y1,3x2z 12 0;4 y（2）x0,z 0,x1,y2, zy.4解（1）如图 8-10（a）；（2）如图 8-10（b）.221.一球面过原点及 A （ 4，0， 0）， B （ 1，3， 0）和 C （0，0， -4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径 .解 设所求球面的方程为( x a) 2 ( y b) 2( z c) 2R ，将已知点的坐标代入上式，得a2b2c2R 2,（1）(a 4)2( a 1) 2b2c2(b 3) 2R 2,c 2 R 2,（2）（3）（3）a2b2( 4 c)2R ，（4）联立（ 1）（ 2）得a2, 联立（ 1）（4）得c 2, 将a2代入（2）（ 3）并联立得 b=1，故 R=3.因此所求球面方程为( x 2)2( y 1)2( z 2) 29,其中球心坐标为 (2,1, 2), 半径为 3.2. 建立以点（ 1，3， -2）为球心，且通过坐标原点的球面方程 .解 设以点（ 1，3， -2）为球心， R 为半径的球面方程为( x 球面经过原点，故R2从而所求球面方程为 1) 2(0(x ( y 3) 2 ( z 2)2R 2,1)2 ( 0 3) 2 (0 2) 214, 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 214.3. 方程x2y2 z2 2 x 4 y 2z0表示什么曲面？解将已知方程整理成( x 1)2( y 2)2( z 1)2( 6) 2,所以此方程表示以（ 1，-2，-1）为球心，以6 为半径的球面 .4. 求与坐标原点 O 及点（ 2,3,4）的距离之比为 1:2 的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解 设动点坐标为（ x, y, z ），根据题意有1 , 2( x 2)2( y 3 2 41)2( z4)232( 2 29)2. 3它表示以（, 1, 3 ）为球心，以 29为半径的球面 . 3 325. 将 xOz 坐标面上的抛物线转曲面的方程 .z5x 绕 x 轴旋转一周，求所生成的旋解 以y2z 2代替抛物线方程 z 25x 中的 z ，得( y 2z 2)25x ，即y 2 z 25x .注 xOz 面上的曲线 F ( x,z)0 绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 F( x ,y2z 2) 0.6. 将 xOz 坐标面上的圆转曲面的方程 .x2z29 绕 z 轴旋转一周，求所生成的旋解 以x2y 2代替圆方程 x2z29 中的 x ，得( x 0)2( y 0)2 ( z 0)2化简整理得 ( x 2)2( y 3)2( z 4)2( 即x2 x2y2 )2z29, y2 z2 9.xz 7. 将 xOy 坐标面上的双曲线4x29 y2 36分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 .解 以y2z2代替双曲线方程 4x 29 y 236中的 y ，得该双曲线绕 x 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4 x 2即4 x2229( 9( y2y2 z 2 z 2)2)236.236,以x z 代替双曲线方程 4x 9y36 中的 x ，得该双曲线绕 y 轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4( 即4( x2x2z 2 )z 2 )2 9 y2 9 y 236. 36,8. 画出下列各方程所表示的曲面：（1）( xa) 2 y2(a) 2;（2）x2y21;（3）2221; 2（4）y2z 0; 4 9（ 5）z2 x 2.94解 （1）如图 8-11（a ）； （2）如图 8-11（ b ）； （ 3）如图 8-11（c ）；（4）如图 8-11（d ）； （ 5）如图 8-11（ e ）.22229. 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形： （1） x2;（ 2）yx 1;（3） x2y24;（ 4） x y 1.解 （ 1） x2 在平面解析几何中表示平行于y 轴的一条直线，在空间解析几何中表示与 yOz 面平行的平面 .（2） yx 1在平面解析几何中表示斜率为1， y 轴截距也为 1 的一条直线，在空间解析几何中表示平行于 z 轴的平面 .（3） x2y24在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为2 的圆，在空间解析几何中表示母线平行于 z 轴，准线为的圆柱面.x 2y 24, z 0（4） xy1在平面解析几何中表示以 x 轴为实轴， y 轴为虚轴。