高中数学专题讲解之抛物线考点1 抛物线的定义：平面上与一个定点F 和一条直线l （F 不在l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

抛物线的定义中条件“F 不在l 上”不可遗漏，否则，如果F 在l 上，则轨迹为过F 且与l 垂直的直线。

题型： 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1、（1）已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为（2）抛物线y=4上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.B. C. D. 0例2、求平面内到原点与直线20x y --=距离相等的点的轨迹方程，并指出轨迹所表示的曲线。

例3、求到点A ()2,0-的距离比到直线:3l x =的距离小1的点的轨迹方程。

巩固练习：1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有 （ ） A ．B ．C ． D.2. 已知点F 是抛物线的焦点,M 是抛物线上的动点,当最小时,M 点坐标是 ( )A. B. C. D.3.已知方程()220x py p =->的抛物线上有一点M (),3m -，点M 到焦点F 的距离为5，求m 的值。

4、在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC 的距离相等,则动点P 所在的曲线的形状为…………( )2x 161716158722(0)y px p =>F 111222()()P x y P x y ，，，333()P x y ，||1F P ||2F P ||3F P 321x x x =+321y y y =+2312x x x =+2312y y y =+),4,3(A x y 82=MF MA +)0,0()62,3()4,2()62,3(-考点2 抛物线的标准方程 题型：求抛物线的标准方程例4、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上巩固练习：1、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值2、 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） 3、 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程 考点3 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 ()：标准方程图形焦点240x y --=22y px =2213x y -=p 3||,17||==AF AM 0>p px y 22=px y 22-=py x 22=py x 22-=▲y xO▲yxO▲y xO▲yxO)0,2(pF )0,2(pF -)2,0(p F )2,0(p F -A 1B 1 B AP(A)A 1B 1B AP(B)A 1B 1 B AP(C)A 1B 1BAP(D)例5、求抛物线24y x =上的点P 到直线34150x y ++=的距离的最小值，并求出P 点的坐标。

例6、给定抛物线22y x =，设A (),0,a a R ∈，P 是抛物线上的一点，且PA d =，求d 的最小值。

例7、长度等于3的线段的两个端点在抛物线2y x =上运动，求AB 的中点M 到y 轴的距离的最小值。

例8、设A 、B 90（O 为坐标原点）例9、已知正方形另两个顶点C 、D 长。

例10、已知抛物线个动点（AB 8AF BF +=例11、设点O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦，若OF a =，PQ b =，求OPQ ∆的面积。

例12、 如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.例13、已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围.(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值..解：(1)设直线l 的方程为：y =x －a ,代入抛物线方程得(x －a )2=2px ,即x 2－2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a ≤－4p . (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，AB 的中点 C (x ,y ), 由(1)知，y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p ,则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p . ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－(x －a －p ),从而N 点坐标为(a +2p ,0）点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅当a 有最大值－4p 时，S 有最大值为2p 2.基础巩固训练1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.1条或2条D.不存在2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6x y 42=)(422R a a a ∈++xOy 24x y =P3.两个正数a 、b 的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( )A ．B ．C ．D ．4. 如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F 是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（ ）．A ．5B ．6C ． 7D ．95、抛物线准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ． 题型、焦点弦问题例14、已知抛物线()220y px p =>，过焦点F 的弦AB 的直线倾斜角为θ，求AB 的弦长。

例15、若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。

例16、已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF+为定值。

例17、已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相切。

与准线l 相切9225,b a >2()y b a x =-1(0,)4-1(0,)41(,0)2-1(,0)4-1P 2P 8P 24y x =1x 2x 8x )(,,,21*∈N n x x x n 45921=+++x x x ||5F P ,42F x y 的焦点为=33343638O F 24y x =A FA x 60OA BAM N Q P y xOF例18、若抛物线方程为，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。

巩固练习：1、若直线经过抛物线的焦点，则实数2、过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为,则 ( )A. B. C. D. 题型、中点弦问题：例19、过点A ()0,1-，作直线l 交抛物线24y x =于B 、C 两点，求BC 中点P 的轨迹方程。

例20、若抛物线2y x =上存在两点PQ 关于直线():3l y m x =-对称，求m 的取值范围。

巩固练习：1、在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标2、已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为． （1）求的坐标；（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？3、设抛物线（）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．4、椭圆上有一点M （-4，）在抛物线（p>0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值. 5、已知抛物线C 的一个焦点为F （，0），对应于这个焦点的准线方程为x =-.（1）写出抛物线C 的方程；（2）过F 点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，O 点为坐标原点，求△AOB 重心G 的轨迹方程；（3）点P 是抛物线C 上的动点，过点P 作圆（x -3）2+y 2=2的切线，切点分别是M ，N .22(0)y px p =>10ax y -+=24y x =a =11,B A =∠11FB A 45 60 9012024y x =45y x =-2:ax y C =a F P c P c l F P F l 22y px =0p >12222=+by a x 59px y 22=2121当P 点在何处时，|MN |的值最小？求出|MN |的最小值. 课后作业：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A ．（1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A ． y 2=－2x B ． y 2=－4x C ．y 2=－8xD ．y 2=－16x6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）A ． y 2=-2x B ． y 2=-4xC ． y 2=2xD ． y 2=-4x 或y 2=-36x7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．48．把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（ ）41412x y =042=--y x 41,21)49,23(66)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x yA ．0条B ．1条C ．2条D ．3条10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于 （ ）A ．2aB ．C ．4aD ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为4，则焦点到AB 的距离为 ．12．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ． 13．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是 ．14．抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．(12分)16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．（12分） 17．动直线y =a ，与抛物线相交于A 点，动点B 的坐标是，求线段AB 中点M 的轨迹的方程．(12分)18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)19．如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．(14分)qp 11+a 21a4314922=+y x 1)3(22=++y x x y 212=)3,0(a20．已知抛物线．过动点M （，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A 、B ，． （Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交轴于点N ，求面积的最大值．(14分)参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．2 12． 13．（1，0） 14． 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为． 16． (12分)[解析]：设抛物线方程为，则焦点F （），由题意可得，解之得或， 故所求的抛物线方程为，17．（12分）[解析]：设M 的坐标为（x ，y ），A （，），又B 得消去，得轨迹方程为，即18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为，由题意可知，)0(22>=p px y a l p AB 2||≤a x NAB Rt ∆4kx =x y 542-=y x 122-=)0(22>-=p py x 0,2p-⎪⎩⎪⎨⎧=-+=5)23(6222p m p m ⎩⎨⎧==462p m ⎩⎨⎧=-=462p m y x 82-=62±的值为m 22a a )3,0(a ⎩⎨⎧==a y a x 22a 42y x =x y 42=)0(22>-=p py xB （4，-5）在抛物线上，所以，得，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A （），由得，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以=2米19．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．由题意可知：曲线C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为， 其中分别为A 、B 的横坐标，．所以，． 由，得 ① ②联立①②解得．将其代入①式并由p>0解得，或．因为△AMN 为锐角三角形，所以，故舍去． ∴p=4，．由点B 在曲线段C 上，得．综上得曲线段C 的方程为．20．(14分) [解析]：（Ⅰ）直线的方程为，将，得 ． 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，6.1=p y x 2.32-=A y ,2A y 2.322-=45-=A y 75.0+=A y h )0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A B A x x ,MN p =)0,2(),0,2(pN p M -17=AM 3=AN 172)2(2=++A A px p x 92)2(2=+-A A px px p x A 4=⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p A x p>2⎩⎨⎧==22Ax p 1=A x 42=-=p BN x B )0,41(82>≤≤=y x x y l a x y -=px y a x y 22=-=代入0)(222=++-a x p a x l ),(11y x A ),(22y x B则 又，∴ ． ∵， ∴ ． 解得 ． （Ⅱ）设AB 的垂直平分线交AB 于点Q ，令坐标为，则由中点坐标公式，得 ， ．∴ ． 又 为等腰直角三角形，∴ ， ∴即面积最大值为1、抛物线y x 82=的准线方程是 。