函数专题：数学归纳法梁久阳一．基本步骤：（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n 有关的命题P(n)，有如下步骤：（1）证明当n 取第一个值n0时命题成立。

n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k （k ≥n0，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），命题P(n)都成立。

（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设n0≤n<=k 时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。

综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），命题P(n)都成立。

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n 命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k ，k ≥1）；（2）假设P(k+1)（k ≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立， 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），命题P(n)都成立； （四）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），P(n)，Q(n)都成立。

二．实际应用（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

（3）证明数列前n 项和与通项公式的成立。

（4）证明和自然数有关的不等式。

等等。

数学归纳法其实是一件很有用的工具，如果能够使用得当的话，会使解决问题的难度大大降低。

三．试题研究（1）直接证法与数学归纳法的比较①所谓直接证法，便是置n 的任何具体值于不顾，仅仅把它看成是一个任意的自然数，也就是说，假定它只具备任何自然数都具备的共同性质，并在这样的基础上进行推导。

【例3】 证明：对任何自然数n ，如下的等式都能成立： 证明：我们有21+cosx+cos2x+…+cosnx=xsin xn sin 21221）（=xsin 2121（sin21x+2cosxsin 21x+2cos2xsin 21x+…+2cosnxsin 21x ） 利用积化和差公式2cos αsin β=sin （α+β）-sin （α-β） 即知 sin21x+2cosxsin 21x+2cos2xsin 21x+…+2cosnxsin 21x =sin21x+(sin 23x-sin 21x)+(sin 25x-sin 23x)+…+(sin(n+21)x-sin （n-21）x) =sin(n+21)x 综合上述等式即得所证，可见不论n 为任何自然数，所证的恒等式都能成立。

这就是我们所说的“置n 的任何具体值于不顾”的含义。

②运用数学归纳法，也可以使像例1这样一些可以通过直接证法证明的问题得到解决。

例1又证 当n=1时，我们有左式=21+cosx 右式=x sin x sin 21223=xsin x sin 4-x 3sin 21221213）（）（ =23-2sin ²21x=23-(1-cosx)=21+cosx 所以对于n=1，等式是成立的。

假设对于n=k ，等式成立，即有21+cosx+cos2x+…+coskx=xsin xk sin 21221）（我们要来证明对于n=k+1,等式也成立。

我们有21+cosx+cos2x+…+coskx+cos （k+1）x=xsin xk sin 21221）（++cos(k+1)x =xsin x211)xsin 2cos(k x k sin 21221+++）（ =xsin x)k sin -x k (sin x k sin 212212321）（）（）（++++=xsin xk sin 21223）（+ =xsin x 1)k sin 21221⎥⎦⎤⎢⎣⎡++）（所以，对于n=k+1，等式也成立。

从而对一切自然数n ，等式都成立。

我们可以比较一下直接证法与数学归纳法，我个人认为，直接证法虽然漂亮，但比较难想，一试时没有充裕的时间，因此很难想出来。

相反，数学归纳法简洁明了，步骤清晰，很容易想到。

由此看来，这种解题方式确实有着它独特的优越性。

（2）学会从头看起 有时，为了实现归纳过渡，我们在证明n=1成立的同时，还要证明n=2,3…使命题在n=k+1时更容易做出。

下面便是一例： 【例3】设正数数列{}满足关系式²≤-+1,证明，对一切n ∈N ，有＜n1。

证明：n=1的情形显然，而当n=2时，由于a 2≤a 1-a 1²=41-(21-a 1)²＜21知断言也成立。

假设当n=k 时，断言成立，即有a k ＜k1，则当n=k+1时，有 a k +1≤a k -a k ²=41-(21-a k )²≤41-（21-k 1）²=k 2-k 1＜121-k -k =11+k知断言也成立。

因此由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＜n1。

细心的我们会发现，在上面的论证中，“n=2”（即a 2＜21）并未在归纳过渡中发挥作用，因此按理说来是不用验证这一步的。

但是，它却启示了我们如何将（a 1-a 1²）改写成一种便于使用归纳假设的形式，而这种启示对于实行归纳过渡是非常重要的。

可见这种对n=2情形的考察是很有好处的。

（3）“正确”选取起点与跨度 ①起点的选取【例3】 证明：任意n 条直线均能重合成一条直线。

证明：当n=1时，命题显然成立。

假设当n=k 时，命题已经成立。

那么当n=k+1时，可以先让其中k 条直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一条重合为一条直线，即知命题也可成立。

所以任意n 条直线均能重合成一条直线。

怎么会呢？这个定理与我们以前所了解到的知识明显不符啊。

最初看到这道题的证明时，我便感觉到，他对我的以前形成的几何观产生了深深的挑战。

后来仔细一想，我觉得，矛盾的产生不是因为我自身出现了问题，而是这道题本身有问题！这个证明上的逻辑漏洞，就在于在进行归纳过渡时，需要用到“可将任意两条直线重合为一条直线”的论断，即“n=2”时的命题。

但是我们只证明了“n=1”时的命题，并没有对“n=2”的命题加以证明，并且事实上它也是不能被证明的。

由此可见，认真考察起点附近的命题是多么的重要!但是，是不是在每一个问题的证明中，都要先对起点附近的命题“n=0”、“n=2”、“n=3”…呢？并不是的。

究竟是否需要验证以及需要验证几个，完全取决于命题本身的特点，尤其是取决于在进行归纳过渡时的需要。

【例4】是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：与上题一样，这道题的起点也需要我们费一些思考。

是“n=1”么？是“n=2”么？不，都不对，是“n=3”！本题需要采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即a1+2a2+3a3+…+ka k=k(k+1)(k+2)那么当n=k+1时，a1+2a2+3a3+…+ka k +(k+1)a k+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]=(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列a n=3n+3使a1+2a2+3a3+…+na n=n(n+1)(n+2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+na n=n(n+1)(n+2)都成立．②跨度的选取【例5】证明：对任意整数n（n≥3），存在一个正整数的完全立方，使得它可以表示成n 个不同正整数的立方之和。

证明：这事实上是一个归纳构造问题。

如果我们采用常规的跨度为“1”的归纳，将会灰常困难，至少我不能做出。

这个时候，就需要我们的大胆想象，改变归纳的跨度。

那么这个跨度是几呢？别急，我们先对n进行分析。

不难算得，3³+4³+5³=6³；5³+7³+9³+10³=13³…再往下，我们就不好找了。

事实上，我们也不用找了，因为这些已经够了。

我们观察“3³+4³+5³=6³”，1变3，多出了2个数，这样我们便已经可以大胆地采用“2”为跨度了。

假设对n≥3，存在可表示成k个不同正整数立方之和的完全立方数m³，设m³=a1³+a2³+…+a k³（1）这里a1＜a2＜…a k都是正整数。

由（1）容易看出（6m）³=（6a1）³+（6a2）³+…+(6a k)³= (3a1) ³+(4a1) ³+(5a1)³+(6a2)³+…+(6a k)³而显然有，3a1＜4a1＜5a1＜6a2＜6a k，故它们是不同的正整数。

这表明，我们做出的（6m）³能表示成k+2个不同正整数的立方和。

综上所述，原命题得证。

注：可以证明，不存在能表示成两个正整数立方和的完全立方数，所以题目中“n≥3”的条件是必要的。

（4）强化命题作为“以退为进”的典范，反证法以它强大的本领和顽强的生命力，帮助我们解决了许多困难的问题。

相反，如果再让我们找一个“以进为退”的工具的话，那无疑就是强化命题了。

它能帮我们找出，那些出题人故意隐藏起来的，“无法言说”的东西。

①同侧加强：它的字面意思是，对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明A x f <)(,只要证明)0()(>-<B B A x f ,其中B 通过寻找分析,归纳完成.下面是一个可能比较困难的问题，需要我们认真去思考。