二次函数根的分布
一、知识点
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分
布情
况
两个负根即两根都小于0
()120,0x x << 两个正根即两根都大于0
()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<
大致图
象（0
>a ）
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f
大
致图
象（
<a ）
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f
综
合结论（不
讨论a
）
()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0
0200
b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a
表二：（两根与k 的大小比较）
表三：（根在区间上的分布）
分布情况
两根都小于k 即
k x k x <<21, 两根都大于k 即
k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即
21x k x <<
大致图
象（
>a ）
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f
大
致图
象（
<a ）
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f
综合结论（不
讨论a ）
()0
20b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0
20
b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨
⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a
k
k
k
二、经典例题
例1：（实根与分布条件）已知βα,
是方程024)12(2
=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的取值范围。
分布情况
两根都在()n m ,
两根有且仅有一根在()n m , （图象有两种情况，只画了一种）
一根在()n m ,，另一根在()q p ,，
q p n m <<<
大
致图
象（
>a ）
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
>⎪⎪
>⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0
000f m f n f p f q ⎧>⎪
<⎪⎨
<⎪⎪>⎩
或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪
⎩ 大致图
象（
<a ）
得出的结论
()()0002f m f n b m n
a ∆>⎧⎪
<⎪⎪
<⎨⎪⎪<-<⎪⎩
()()0<⋅n f m f
()()()()0
000f m f n f p f q ⎧<⎪
>⎪⎨
>⎪
⎪<⎩
或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 综合结论（不
讨论a ）
——————
()()0<⋅n f m f
()()()()⎪⎩⎪
⎨
⎧<<0
0q f p f n f m f
变式：关于x 的方程012)1(2
2
=-+-mx x m 的两个根，一个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。
例2：（动轴定区间）函数32)(2
--=ax x x f 在区间[]2,1上是单调函数，则a 的取值范围
是？
变式2：函数32)(2
+-=kx x x f 在[]+∞-,1上是增函数，求实数k 的取值范围。
列3：（定轴动区间）求函数12)(2
--=ax x x f 在[]2,0上的值域。
变式3：已知函数2244)(2
2
+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的取
值范围。
例4：（定轴动区间）已知二次函数32)(2
--=x x x f ，若)(x f 在[]1,+t t 上的最小值为
)(t g ，求)(t g 的表达式。
变式4：已知二次函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且1)1(,0)0(==f f ，若)(x f 在区间[]n m ,上的值域是[]n m ,，求n m ,的值。
例5：（恒成立问题）已知函数1)(2
-+=mx x x f ，若对于任意[]1,+∈m m x ，都有0
)(<x f 成立，求实数m 的取值范围。
变式5：已知函数1)(2
+-=mx x x f 在)2,2
1
(上恒大于0，求实数m 的取值范围。
三、课后练习
1、已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范
围。
2、函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。
3、讨论函数()2
1f x x x a =+-+的最小值。
4、已知函数1)(2
-+=x mx x f 的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。
5、已知函数3)(2++=ax x x f ，当[]1,1-∈x 时，a x f >)(恒成立，求a 的取值范围。