最新2019年高三数学模拟试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·广安期末]已知集合，，则集合=（ ） A ．B ．C ．D ．2．[2019·齐齐哈尔一模]（ ） A ． B ． C ． D ． 3．[2019·济宁一模]如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：{}20A x x =-≤B =N A B I {}0,1,2{}2x x ≤{}1,2{}02x x ≤≤23i1i-=+15i 22-15i 22--15i 22+15i 22-+套)与成交量(单位：套)作出如下判断： ①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天； ③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．[2019·乌鲁木齐一模]双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） ABC ．D5．[2019·浏阳一中]设，都是不等于1的22136x y -=a b正数，则“”是“”成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．[2019·桂林联考]已知等比数列的前项和，则（ ）A ．B ．3C ．6D ．97．[2019·福建毕业]执行如图所示的程序框图，则输出的的值等于（ ）333ab >>33log log a b <{}na n ()131n nSλλ-=⋅-∈R ()8721S a +=13SA ．3B ．C ．21D ．8．[2019·鹰潭期末]如图所示，过抛物线的焦点的直线，交抛物线于点，．交其准线于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．9．[2019·南昌一模]函数的图3-21-()220y px p =>F l A BlC BC=1AF =2y=22yx=2y=23yx=())2ln31x x f x x -=+像大致为（ ） A ． B ． C ．D ．10．[2019·大连一模]已知的内角，，所对边分别为，，，，则（ ） A ． B ．C ．D ．11．[2019·南昌一模]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．ABC △AB Ca b c tan cos cos A b C c B=+A ∠=π65π6π32π312．[2019·汉中联考]已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·临川一中]设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的 投影为______．14．[2019·榆林一中]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019·湘潭一模]已知球的半径为4，球()ee xxf x -=-()0,x ∈+∞()f x mx >m (),1-∞(],1-∞(],2-∞(),2-∞a b 2=a 1=b ()⊥+b a b a b x y 230101x y x y y -+≥-+≥≥⎧⎪⎨⎪⎩34z x y =-+面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为____． 16．[2019·铜仁期末]已知函数，为的零点， 为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·新乡期末]已知数列满足，．（1）证明：数列是等比数列；()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭π4x =-()f x π4x =()y f x =()f x ππ,186⎛⎫⎪⎝⎭ω{}na 11a =132n n aa +=+{}1na+（2）设，求数列的前项和．18．（12分）[2019·南昌一模]市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常1233211log log 22nn n b a a ++=++⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}nb n nS A B AB营业．经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换．（用频率估计概率）（1）若该商家新店面全部安装了型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率； （2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．19．（12分）[2019·南开期末]如图所示，四A B AB 0.75B棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． （1）求的长； （2）求证：平面； （3）求二面角的度数．20．（12分）[2019·临川一中]已知椭圆，离心率，是椭圆的左顶点，是椭圆的左焦点，，直线．（1）求椭圆方程；（2）直线过点与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、两点，试问：P ABCD -PA ⊥ABCD AB DC ∥DA AB ⊥2AB AP ==1DA DC ==E PC 23PE PC =PE AE ⊥PBC B AE D --()2222:10x y C a b a b+=>>12e =A F1AF =:4m x =-C l F C P Q PA QA m M N以为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．21．（12分）[2019·东北三校]已知函数（为自然对数的底数），． （1）当时，求函数的极小值； （2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·大连一模]在平面直角坐标系中，曲MN ()e xf x =e ()()g x ax a =∈R e a =()()()t x f x g x =-1x ≥x ()()ln e f x x g x a +-=-a xOy线的参数方程为（为参数且），曲线的参数方程为（为参数，且），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，曲线的极坐标方程为．（1）求与的交点到极点的距离；（2）设与交于点，与交于点，当在上变化时，求的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·东北三校]已知函数，． （1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数，，满足，求1C cos sin x t y t αα==⎧⎨⎩t π0,0,2t α⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭2C cos 1sin x y ββ==+⎧⎨⎩β,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭O x 3C 1cos 0,2πρθθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4C cos 1ρθ=3C 4C 1C 2C P 1C 3C Q α0,π2⎛⎫⎪⎝⎭OP OQ +()4f x x a x =-+a ∈R ()2f x a ≥x ∀∈R a m a xy z 42x y z m ++=()222x y y z +++的最小值．2019年数学期中高三考卷 理科数学答案一、选择题． 1．【答案】A【解析】由题意；．故选A ． 2．【答案】B【解析】，故选B ． 3．【答案】B【解析】7天假期的楼房认购量为91、100、105、107、112、223、276；成交量为8、13、16、26、32、38、166． 对于①，日成交量的中位数是26，故错；{}2A x x =≤{}0,1,2A B ∴=I ()()()()23i 1i 23i 15i 15i 1i 1i 1i 222z -----====--++-对于②，日平均成交量为，有1天日成交量超过日平均成交量，故错； 对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确． 故选B ． 4．【答案】D【解析】根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，则其焦点到渐近线的距离D ．5．【答案】D 【解析】由，可得；由，得．8131626323816642.77++++++≈22136x y -=()3,0±y =0y ±=d ==333ab >>1a b >>33log log a b <0b a >>所以当“”成立时，“”不成立；反之，当“”成立时，“”也不成立， 所以“”是“”成立的既不充分也不必要条件．故选D ． 6．【答案】D 【解析】因为，所以时，，两式相减，可得，，，，因为是等比数列，所以， 所以，，，，所以，故选D ．7．【答案】B【解析】由题意得，程序执行循环共六次， 依次是，；，；，；，；1a b >>0b a >>0b a >>1a b >>333ab >>33log log a b <131n nSλ-=⋅-2n ≥2131n n Sλ--=⋅-2123n nn n aS S λ--=-=⋅2n ≥111a S λ==-22aλ={}na 2331λλλ=⇒=-123n na-=⨯31n nS=-8831S=-6723a=⨯()87219S a +=1S =2i =1S =-3i =2S =4i =2S =-5i =，；，，故输出的值等于，故选B ． 8．【答案】A【解析】如图，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，为准线与轴的交点，由抛物线的定义，，，因为，所以，所以， ，，所以，即， 所以抛物线的方程为，故选A ．3S =6i =3S =-7i =S 3-A AD D B BE E Px BF BE=1AF AD ==BC=BC =45DCA ∠=︒2AC ==211CF ==PF ==p PF ==2y=9．【答案】A 【解析】，即，故为奇函数，排除C ，D 选项；，排除B 选项，故选A ．10．【答案】A【解析】，，根据正弦定理：可得，所以，那么，故选A ． 11．【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱（其高为6，底面三角形的底边长为4，高为）截去一个同底面的三棱锥（其高为3）所得，()()))22ln3ln3011x xx x f x f x x x -++-=+=++()()f x f x -=-()f x ())ln13102f -=<0πA <<Q sin 0A ∴≠tan cos cos A b C c B=+()tan sin cos sin cos sin sin A A B C C B B C A⋅=+=+=tan A =π6A =则该几何体的体积为D ．12．【答案】C 【解析】令，，．当时，，则在上单调递增， 又，所以恒成立； 当时，因为在上单调递增，故存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，则，这与恒成立矛盾，综上，故答案为C ．1114643232V ⎛⎛=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎝⎝()ee xx g x mx-=--()0,x ∈+∞()ee xx g x m-'=+-2m ≤()0g x '≥()g x ()0,+∞()00g =()f x mx >2m >()ee xx g x m-'=+-()0,+∞()00,x ∈+∞()00g x '=()g x ()00,x ()0,x +∞()00g =()00g x <()0g x >2m ≤二、填空题． 13．【答案】【解析】由于，所以，即，，所以向量在向量方向上的投影为． 14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大， 由，此时，故答案为5．1-()⊥+b a b ()0⋅+=b a b 2210⋅+=⋅+=⋅+=a b b a b b a b 1⋅=-a b a b 111⋅-==-a b b x y 230101x y x y y -+≥-+≥≥⎧⎪⎨⎪⎩340x y -+=l A z ()2301,210x y A x y -+=⇒-+⎧⎨⎩=5z =15．【答案】6【解析】设两圆的圆心为，球心为，公共弦为，中点为，因为球心到这两个平面的距离相等，则为正方形，两圆半径相等， 设两圆半径为，，又，，，．这两个圆的半径之和为6． 16．【答案】5【解析】由题意可得， 即，解得， 又因为在上单调，所以，即，12O O O AB E 12OO EOr 1OO =OE =222OEAE OA+=2322216r-+=29r=3r =4442ππkT T⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭21212π24π4k k T ω++=⋅=⋅()21,k k ω=+∈*N ()f x ππ,186⎛⎫ ⎪⎝⎭12π618922πππT ω-=≤=⋅9ω≤验证，7，5，得知满足题意，所以的最大值为5．三、解答题．17．【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】（1）证明：数列满足，，可得，即有数列是首项为2，公比为3的等比数列．（2）由（1）可得，即有，数列的前项和．18．【答案】（1）；（2）应选择型节能9ω=5ω=ω21nnSn =+{}na 11a =132n n a a +=+()1131n n aa ++=+{}1na +1123n na -+=⋅()11233332221121111log 3log 3log log 22n n n n n b a a n n n n +++⎛⎫====- ⎪++++⎛⎫⎛⎫⋅⎝⎭⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}nb n 11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭32625A灯．【解析】（1）由频率分布直方图可知，型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为， 用频率估计概率，得型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为． 所以一年内一支型节能灯在使用期间需更换的概率为，所以一年内5支恰好更换了2支灯的概率为．（2）共需要安装5支同种灯管， 若选择型节能灯，一年共需花费元；若选择型节能灯，由于型节能灯一年内需更换服从二项分布， B 0.2B 15B 4523254132C 55625⎛⎫⎛⎫⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 3512036005200.7510870-⨯+⨯⨯⨯⨯=B B 45,5B ⎛⎫⎪⎝⎭故一年需更换灯的支数的期望为支， 故一年共需花费元．因为，所以该商家应选择型节能灯． 19．【答案】（1；（2）见解析；（3）．【解析】（1）四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且， ，，．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，4545⨯=34552536005550.7510967.55-⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭967.5870>A120︒Q P ABCD -PA ⊥ABCD AB DC∥DA AB ⊥2AB AP ==1DA DC ==E PC 23PE PC =AC ∴PC ∴==23PE PC ∴==A AB x AD y AP z则，，，，， ，，，，，，， 又，平面．（3），，，， 设平面的法向量， 则，取，得，设平面的法向量， 则，取，得，设二面角的度数为，则．，二面角的度数为．20．【答案】（1）；（2）以为直径的圆能过两定点、．()0,0,0A ()1,1,0C ()0,0,2P 222,,333E ⎛⎫⎪⎝⎭()2,0,0B 222,,333AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ()2,0,2PB =-u u u r()1,1,2PC =-u u u r44033AE PB ⋅=-=u u u r u u u r 2240333AE PC ⋅=+-=uu u r u u u r AE PB ∴⊥AE PC ⊥PB PC P =I AE ∴⊥PBC ()0,1,0D ()2,0,0AB =uu u r ()0,1,0AD =u u u r 222,,333AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ABE (),,x y z =m 202220333AB x AE x y z ⎧⎪⎨⎪⎩⋅==⋅=++=u u u ru u u r m m 1y =()0,1,1=-m ADE (),,a b c =n 02220333AD b AE a b c ⎧⎪⎨⎪⎩⋅==⋅=++=u u u ru u u r n n 1a =()1,0,1=-n B AE D --θ()1cos πcos ,2θ⋅-=〈〉===⋅m nm n m n120θ∴=︒∴B AE D --120︒22143x y +=MN ()1,0-()7,0-【解析】（1），得，所求椭圆方程．（2）当直线斜率存在时，设直线，、，直线，令，得，同理， 以为直径的圆， 整理得①，得，，②将②代入①整理得，令，得或．当直线斜率不存在时，、、、，121c a a c =-=⎧⎪⎨⎪⎩21a c ==⎧⎨⎩22143x y +=l ()():10l y k x k =+≠()11,P x y ()22,Q x y ()11:22y PA y x x =++4x =-1124,2y M x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭2224,2y N x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭MN ()()12122244022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()2121222121212121214422402424x x x x x x x y k y kx x x x x x x x ⎡⎤++++++++-+=⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦()221143y k x x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩()22224384120k xk x k +++-=2122843k x x k -+=+212241243k x x k -=+226870x y x y k++-+=0y =1x =-7x =-l 31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()4,3M --()4,3N以为直径的圆，也过点、两点，综上：以为直径的圆能过两定点、． 21．【答案】（1）0；（2）． 【解析】（1）当时，，，令则列表如下：所以．（2）设，，，， 设，，MN ()2249x y ++=()1,0-()7,0-MN ()1,0-()7,0-e 1a ≤+e a =()e e xt x x=-()eext x '=-()0t x '=1x =()()1e e 0t x t ==-=极小值()()()ln e eln e xF x f x g x x a ax x a=-+-+=-+-+()1x ≥()1e x F x a x'=-+()1x ≥()1e xh x a x=-+()2221e 1e x xx h x x x ⋅-=-='由得，，，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增，又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意． ②当，即时，由（1）可知，所以，，又， 故，，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解1．又时，，单调递增，1x ≥21x ≥2e10xx ->()0h x '>()h x ()1,+∞()F x '()1,+∞()1e 1F a ='+-e 10a +-≥e 1a ≤+()1,x ∈+∞()0F x '>()F x ()1,+∞()10F =1x ≥x ()()ln e f x x g x a +-=-e 10a +-<e 1a >+e e xx≥()11ee xF x a x a x x'=+-≥+-e e 0e e a a F e a a a ⎛⎫'≥⋅+-=> ⎪⎝⎭e e 11a >+0e 1,a x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00F x '=()01,x x ∈()0F x '<()F x ()10F =(]01,x x ∈()0F x <[)01,x x ()()ln e f x x g x a +-=-()0,x x ∈+∞()0F x '>()F x且，令，，，故在单调递增，又，，，在单调递增， 故，故，又，由零点存在定理可知，，， 故在内，关于的方程有一个实数解．又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意． 综上，．22．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）联立曲线，的极坐标方程()22eln e e 1aa F a a a a a =+-+->-+()()2e11xk x x x =-+≥()()e 2x s x k x x==-'()e2e 20xs x =-≥->'()k x '()1,+∞()10k '>1x ∴>当时()0k x '>()k x ∴()1,+∞()()10k a k >>()0F a >0ea a x >>()1,x x a ∃∈()10F x =()0,x a x ()()ln e f x x g x a +-=-1x [)01,x x ()()ln e f x x g x a +-=-e 1a ≤+1+3C 4C 1cos ,π0,2cos 1ρθθρθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎧⎪⎨⎪⎩得，解得，即交点到极点的距离为．（2）曲线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为联立得， 即， 曲线与曲线的极坐标方程联立得，即， 所以，其中的终边经过点，当，，即时，取得最大值为．23．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为函数恒成立，210ρρ--=ρ1C ,0,π,02θααρ⎛⎫⎛⎫=∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2C 2sin ,0,2πρθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2sin ,0,2πραα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2sin ,02π,OP αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1C 3C 1cos ,02π,ραα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭1co 0πs ,,2OQ αα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭()12sin cos 1OP OQ αααϕ+=++=+ϕ()2,12π2πk αϕ+=+k ∈Z α=OP OQ+144a -≤≤1621()2444f x x a x x a x a a =-+≥--=≥解得．（2）由第一问可知，即， 由柯西不等式可得，化简， 即，当且仅当时取等号，故最小值为．44a -≤≤4m =()424424x y z x y y z ++=⇒+-+=()()][()222222242421x y y z x y y z ⎡⎤+-+≤+-++++⎡⎤⎣⎦⎣⋅⎦()2221621x y y z ⎡⎤≤⨯+++⎣⎦()2221621x y y z +++≥421x y y z +==-1621。