卢卡斯式的人力资本内生化增长模型
柯布道格拉斯生产函数引入了劳动这一生产要素，这使得研究人力资本因素在经济增长中的作用在分析技术上成为可能。

但柯布道格拉斯生产函数中的劳动投入是指一般的劳动投入，看不出不同质量 或不同技术熟练程度的劳动的投入对于产量的作用的差异。

因此需要对生产要素的投入进行进一步的区分，以说明人力投资在经济增长中的作用。

卢卡斯引入了Schultz 和Becker 提出的人力资本的概念，在借鉴罗默（1986）的处理技术的基础上，对宇泽的技术方程做了修改，建立里一个专业化人力资本积累的经济增长模型。

宇泽1965年在《经济增长总量模型中的最优技术变化》一文中，运用了两部门模型结构，在新古典经济学的资本积累框架中研究了如何通过必要劳动投入实现最优技术进步的问题。

宇泽模型的重要贡献是为解释内生技术变化提供了一个尝试，这种尝试后来成为卢卡斯人力资本积累增长模型以及罗默内生技术变化模型的重要理论基础。

为了寻求一种新的经济发展机制，卢卡斯（1988）沿着Schultz 和Becker 的思路在模型中引入了人力资本，将宇泽的技术进步方程做了修改，提出了一个一人力资本的外部效应为核心的内生增长模型。

卢卡斯模型中的人力资本投资 ，尤其是人力资本的外部效应，使生产具有递增效应，而正是这种源于人力资本外部效应的递增收益使人力资本成为“增长的发动机”。

人力资本是劳动者的技能水平，这种技能水平会提高劳动者自身的生产率。

更为重要的是，卢卡斯区别了人力资本的两种效应，即内部效应和外部效应。

人力资本的外部效应会从一个人扩散到另一个人身上，从旧产品传递到新产品，从家庭的旧成员传递给新成员，因而会对所有生产要素的生产率都有贡献，进而使产出生产具有递增 收益。

而正是这种源于人力资本外部效应的地赠送收益，使人力资本成为增长的发动机。

卢卡斯模型由两个模型组成。

第一个使“两时期模型”（two periods model ）;第二个是“两商品模型”（two goods model ）。

在“两时期模型”中，卢卡斯采用类似阿罗（1962），罗默（1986）的单部门模型，将资本区分为物质资本和人力资本两种形式，将劳动划分为“原始劳动”和“专业化的人力资本”，认为专业化的人力资本才是促进经济增长的真正动力。

以专门化投入培育人力资本的情况
假设在一个竞争性市场的封闭经济中，存在许多相同的、理性的经济主体。

在t 时有N(t)的人口或等值的人时进入市场，且它们以常数率λ增长。

令c(t)(t ≥0)为单个商品的实际人均消费，对人均消费的偏好为：
∫11−σ∞0（c 1−σ−1）Ne −ρt dt
其中 ，ρ是时间偏好率，σ是跨时期替代弹性的倒数。

令h(t)表示一个典型工人的一般技能水平（人力资本水平）。

假设N 个工人的技能水平从0到无穷大不等，技能水平为h 的工人有N(h)个。

则N =∫N(h)dh ∞
0。

进一步地，可定义平均的技能或人力资本水平为： h 0=∫hN(h)dh ∞0∫N(h)dh ∞0
指出，这样的人力资本不仅具有内部效应，即对自己的生产率有影响，而且更为重要的是，它具有外部效应，这
一外部效应对所有的生产要素的生产率都有贡献。

假定所有工人都是一样的，且每一工人投入u(t)份额的非闲暇时间用于产品生产，1-u(t)的非闲暇时间投入人力资本积累。

那么，经济中的产出Y就取决于资本存量K，有效劳动uNh，以及工人的平均技能水平h。

卢卡斯以u(h)表示一个具有技能水平h的劳动者将其非闲暇的时间用于最终产品生产的比例，在此基础上构造了了最终产品的总量生产函数：
Y(t)=N(t)·c(t)+K(t)=A·K(t)β·[u(t)·h(t)·N(t)]1−β·h a(t)γ
式中的c(t)是时点t上的人均消费，K(t)是整个经济中的资本总存量，K(t)是其单位时间增量，A是技术水平，卢卡斯的模型假设它为常数。

这个生产函数中还假设所有的劳动者都用同样的技能水平h，并且所有的劳动者都选择了同样的时间配置u。

而因子h a(t)γ则体现了人力资本的外部效应。

卢卡斯上述模型中的人力资本生产函数是以每人人力资本的形式设计的：
h(t)=dh(t)
=h(t)·δ·(1-u(t)) （1）
dt
卢卡斯使用了最优控制理论中的汉密尔顿函数，以解出最优增长路径。

这个最优增长路径给出了对K(t)、h(t)、H a(t)、c(t)和u(t)的选择，以在家庭预算约束和人力资本生产函数下最大化效用函数。

由这个最优选择可得消费与人均资本共同的增长率为：
k=(1−β+γ
)·g
1−β
上式子中的g为个人的人力资本的增长率。

卢卡斯模型中人力资本的均衡增长率为：
g=(1−β)[δ−(ρ−λ)]
（2）
σ(1−β+γ)−γ
而其最优增长率则为：
g∗=σ−1[δ−(1−β)(ρ−λ)
]
1−β+γ
两者的差别可以由多种因素引起的，如外部效应γ，若γ=0，g=g∗，若γ>0，g<g∗。

在（1）、（2）中，人力资本增长率皆随着人力资本投资的有效程度δ的增加而增加，随贴现率ρ的增加而减少。

而且，值得注意的是，尽管卢卡斯模型中的增长率仍与劳动力的增长率有关，但是与新古典增长模型不同的是，即使劳动力增长率为0，增长仍是可能的，因而卢卡斯模型避免了“没有人口增长就没有经济增长”这一“令人不愉快的结果”。