一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？
做一做
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三
角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形
与它的外心的位置关系.
A
A
A
●O
●O
B
┐
CB
C
●O
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(√)
1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为 60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____， BC=_____；
2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦 AB与CD之间的关系为（ ）；
A.AB=2CD
B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定
一、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗●
M
C
D 图1
A
O
B
3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的 直径，那么∠BOC等于 ( )；
A．150° B．130° C．120° D．60°
4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，
∠BOC=
；若O为△ABC的内心，∠BOC=
．
图2
5、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的 宽度为_____ cm；
6、如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由
图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出
来
；
7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某
圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽
AB=60 cm，则污水的最大深度为
cm；
A
C
E
D
O
O
图1
m
n
A
图2
B
B
四、点和圆的位置关系
与圆有关的概念
弦 连接圆上任意两点的线段（如图AC）
叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
B
O·
A
C
弧
圆 为上端任点意 的两 弧点 记间作的A⌒部B 分，叫读做作圆“弧圆弧，简AB称”或弧“．弧以A、B
AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆．
B
O·
C
劣弧与优弧
.o .p r
.p .o
Op＜r Op=r Op＞r
点p在⊙o内 点p在⊙o上 点p在⊙o外
.o .p
不在同一直线上的三个点确定一个圆
（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角 形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）
反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内 对角
有关概念
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．
经过三角形三个顶点的圆叫做
A
三角形的外接圆。
三角形外接圆的圆心叫做这
个三角形的外心。
这个三角形叫做这个圆的
B
内接三角形。
●O C
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
B
B B
三、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于这弧所对的圆心角的一半. 推论:直径所对的圆周角是 直角 . 90°的圆周角所对的弦是 直径 .
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×)
(2)相等的圆周角所对的弧相等. (×)
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的 角,叫做圆周角.
A
A
O· B
●O
C
B
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
●O
B
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
垂径定理及其推论
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└
B
(3) 平分弦 ；
(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
(错 )
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是_2_c_m 或14cm .
A
D
B
●O
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是
• 同弧: 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
A C
A C
A C
●O
●O
●O
小于半圆的弧叫做劣弧. （如图中的A⌒C） 大于半圆的弧叫做优弧.(用三个字母表示,如图中的A⌒CB)
B
O·
A
C
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)等弧就是拉直以后长度相等的弧
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且 R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与 ⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的 弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _____ cm.
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的 半径相等。
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同 心圆 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，
2）两弧的度数相等。
注意：1、直径是弦，而弦不一定是直径； 2、半圆是弧，而弧不一定是半圆； 3、两条等弧的度数相等，长度也相等， 反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。