§123一般项级数数学分析课件（华师大四版）高教社
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数学分析第十二章数项级数§12.3一般项级数一、交错级数二、绝
对收敛级数及其性质由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项
级数复杂得多,所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法某点击以上标题可直接前往对应内容§3
一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
交错级数
(un0,n1,2,),阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法
若级数的各项符号正负相间,即
n1u1u2u3u4(1)un则称为交错级数.定理12.11（莱布尼茨判别法）若
交错级数(1)满足:
(ii)limun0,n后退
前进
(1)(i)数列{un}单调递减;则级数(1)收敛.
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§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法
证考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},它的奇数项和偶数项分别为S2m1u1(u2u3)(u2m2u2m1),S2m(u1u2)(u3u4)(u2m1u2m).由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的,
而数列S2m是递增的.S2m1是递减的，从而数列又由条件(ii)知道
0S2m1S2mu2m0(m),从而{[S2m,S2m-1]}是一个区间套.由区间套定理,存在惟一的实数S,使得
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克雷判别法
mlimS2m1limS2mS.m所以数列{Sn}收敛,即级数(1)收敛.推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为Rnun1.对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法,容易检验它们都是收敛的:数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
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克雷判别法
111n11(1);23n1(2)1111n11(1);(3)3!5!7!(2n1)!1234n1n234(1).(4) n1010101010数学分析第十二章数项级数高等教育出版社
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克雷判别法
定理12.13设级数(5)绝对收敛,且其和等于S,则任意重排后所得到
的级数(7)绝对收敛且和也为S.
某证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明
定理是成立的.
第一步设级数(5)是正项级数,用Sn表示它的第n个部分和.用
mv1v2vm表示级数(7)的第m个部分和.因为级数(7)为级数
(5)的重排,所以每一vk(1km)应等于某一uik(1km).记nma某
{i1,i2,im},数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数
交错级数绝对收敛级数及其性质
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克雷判别法
则对于任何m,都存在n，使mSn.由于limSnS,所以对任何正整数m,
都有mS,n即级数(7)收敛,且其和S.由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有
S,从而得到S.这就证明了对正项级数定理成立.
第二步证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数
且绝对收敛,则由级数(6)收敛第一步结论,可得
vn收敛,即级数(7)是绝对收敛的.
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第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.根据第一步的证明,收敛
的正项级数重排后和不变,所以先要把一般项级数(5)分解成正项级数的和.为此令
unununun.(8)pn,qn22当un0时,pnun0,qn0;当un0时,pn0,qnunun0.从而0pnun,0qnun,(9)pnqnun,pnqnun.(10)数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利
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由级数(5)绝对收敛,及(9)式,知pn,qn都是收敛的正项级数.因此
Sunpnqn.对于级数(5)重排后所得到的级数(7),也可按(8)式的办法,
把它表示为两个收敛的正项级数之差
qn,vnpn,qn分别是正项级数pn,qn的重排,显然pn其和不变,从而有vpqpqnnnnnS.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
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注定理12.13只对绝对收敛级数成立.条件收敛级数重排后得到的新
级数不一定收敛,即使收敛,也不一定收敛于原来的和.更进一步,条件收敛级数适当重排后,既可以得到发散级数,也可以收敛于
n11条件收敛,任何事先指定的数.例如级数1nn1设其和为A,即
11111111(1)n12345678A.1乘以常数后,有2n1数学分析第十二章数项级数高等教育出版社
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11111An11(1).2n24682将上述两个级数相加,得到的是(2)的重
排:1111131A.325742我们也可以重排(2)使其发散(可参考数学分析学习指导书下册).2.级数的乘积
由定理12.2知道,若un为收敛级数,a为常数,则aunaun,数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
由此可以立刻推广到收敛级数un与有限项和的乘
n1阿贝尔判别法和狄利
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积,即
(a1a2am)unakun,n1n1k1m那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质设有收敛级数
unu1u2unA,v1v2vnB.(11)(12)vn将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下表:
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u1v1u2v1u3v1unv1u1v2u2v2u3v2unv2u1v3u1vnu2v3u2vnu3v3u3vnunv3 unvn(13)这些乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数,常
用的有按正方形顺序或按对角线顺序.依次相加后,有
u1v1u1v2u2v2u2v1u1v3u2v3u3v3u3v2u3v1(14)数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质阿贝尔判别法和狄利
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u1v1u2v1u3v1unv1u1v2u2v2u3v2unv2u1v3u2v3u3v3unv3u1vnu2vnu3vn unvn数学分析第十二章数项级数高等教育出版社正方形顺序§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
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克雷判别法
u1v1u2v1u1v2u2v2u1v3u2v3u3v2u3v3对角线顺序
u1v1u1v2u2v1u1v3u2v2u3v1.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社u3v1(15)
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阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法推论（阿贝尔引理）若(i)1,2,,n是单调数组,记ma某{k};k(ii)对任一正整数k(1kn)有kA,则有vk1nnkk3A.(19)证由(i)知
12,23,,n1n都是同号的.于是由分部求和公式及条件(ii)推得k1kkv(12)1(23)2(n1n)n1nnA(12)(23)(n1n)AnA1nAnA(12n)3A.数学分析第十二章数项级数高等教育出版社§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法现在讨论形如
anbna1b1a2b2anbn级数的收敛性的判别法.
定理12.15（阿贝尔判别法）(20)若{an}为单调有界数列,且级数bn
收敛,则级数(20)收敛.
证由于数列{an}单调有界,故存在M0,使anM.数,存在又由于bn收敛,依柯西准则，对任意正正数N,使当n>N时,对任一正整数p,都有npknb数学分析第十二章数项级数高等教育出版社k.§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法(阿贝尔引理条件(ii)).应用(19)式得到
npknab这就说明级数(20)收敛.
kk3M.定理12.16（狄利克雷判别法）且liman0,又级数bn若数列{an}单调递减,n的部分和数列有界,则级数(20)收敛.
证由于bn部分和数列Vnbn有界,故存在正
k1n数M,使|Vn|M,因此当n,p为任何正整数时,
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克雷判别法|bn1bn2bnp||VnpVn|2M.又由于数列{an}单调递减,且liman0,对0,n19）式得到N,当nN时，有an.于是根据
（|an1bn1anpbnp|2M(|an1|2|anp|)6M.有了阿贝尔判别法就知道:若级数un收敛,则
un级数p(p0),n数学分析第十二章数项级数高等教育出版社un都收敛.n1§3一般项级数交错级数绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利
克雷判别法例3若数列{an}具有性质:
a1a2an,liman0,n则级数aninn某和ancon某对任何某(0,2)都收敛.
解因为
n某1某3某2incok某inin某in22k1222111inn某inn某inn
某,222数学分析第十二章数项级数高等教育出版社。