厦门大学2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
(一)数学分析部分
1.判断题
(1)在闭区间上定义的连续函数一定一致连续.
(2)设()f x 为可微函数,则''()(())f x dx f x dx =⎰⎰.
(3)一个绝对收敛的级数改变其求和顺序后仍然收敛,且收敛值不变.
(4)因为有理数集是可数集,所以我们可以将非负有理数按大小排列成一个数列:12.n r r r <<<<
(5)有限闭区间上的一个具有连续导数的有界函数,其导数也有界.
2.我们将所有有理数排成一个数列1{}n n r ∞
=,试讨论函数1sgn()()2n n n x r f x ∞
=-=∑的连续性. 3.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,(,)α∈-∞+∞,证明:(,)x ∀∈-∞+∞,都有
01lim [()()]()().x
h f t h f t dt f x f h α
α→+-=-⎰ 4.设012(,,)n x a a a = 是n 元实函数 12,1
()(,,,)n n ij i j i j f x f x x x a x x ===∑ 在单位球2121{(,,,):
1}n n n i i x x x x R x ==∈≤∑ 内的极值点.则存在R λ∈使得00Ax x λ=,其
中
11121212221
2n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
. 5.设()f t 为连续函数,,,a b c 为常数.证明 2221
21
1()(1)()x y z f ax by cz dxdydz u f ku du π-++≤++=-⎰⎰⎰⎰,
其中k = 6.设ϕ为可微函数,,,a b c 为常数.证明由方程222()ax by cz x y z ϕ++=++确定的函数(,)z z x y =满足方程
()().z z cy bz az cx bx ay x y
∂∂-+-=-∂∂ (二)实变函数部分
1.证明有理数集是0测度集.
2.设[,]k E a b ⊂的测度(),1,2,.k m E b a k =-= 证明1()[,]k k m E a b ∞
=⋂=. 3.设(1,2,)k f k = 为[0,1]上的一列可测函数.若()
0,.1()k k f x a e f x →+证明k f 以测度收敛于0.
(三)常微分部分
1.求解方程(sin sin )cos 0.x e x y dx ydy ++=
2. 求解方程21.2
dy x y dx x y --=+- 3. .求解方程'''320.y y y x -+-=。