其中 r,t*是 r,t 的复数共轭。
粒子在dV体积元内出现的概率
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玻恩对电子衍射的解释 一个电子通过一个缝后到底落在屏上哪一点
呢？玻恩说：不能肯定，落在哪一点都有可能； 但是由于屏上各处明暗不同，所以落在各处的概 率也不同，落在哪一点有一定的概率分布，这一 概率分布由屏上各点波的强度分布来决定。
接受屏上发现粒子的概率与 (x, y, z,t) 2成正比.
电子在屏上出现概率密度大的地方,出现干涉 图样中的“亮条纹”；概率密度为零的地方,没有 电子到达，显示“暗条纹”。
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宏观物体服从牛顿的决定论，如可以精确给 出火星的位置,运动轨道；
描述微观粒子的波粒二象性的是概率波， 按照概率波的观点，微观粒子在运动过程中究竟 会出现在何处,只能由概率大小来判断.
A 2/a
（2）求粒子在0到 a/2区域出现的概率； 粒子的概率密度为: 在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为：
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（3）粒子在何处出现的概率最大？ 概率最大的位置应满足
d ( 2 sin2 x) 0
dx a a
因0<x<a,故得x=a/2 在x=a/2处粒子出现的概率最大。
氢原子核外电子的运动不能使用玻尔的轨道 运动了，只能说电子在原子核外的某些地方比 较容易找到，在某些地方几乎找不到。
在核外空间各处寻找电子的概率各不相同； 即有一定的概率分布，人们用“电子云”来形象 地描绘这种概率分布的空间图形。
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自由粒子平面波波函数
Ψ r，t
i 2
Ae h
(Et
pr
)
(r ,
t
)
2
A2
常数
则在空间各点发现自由粒子的概率相等
应该强调，对于概率分布来说，重要的是
相 则对Ψ概r率,t分布和．cΨ如果r,Ct是所常描数述(可的以相是对复概数率)分，布
是完全相同的。
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cΨ
(r1,
t
)
2
c
(r2
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电子双缝干射实验
电子
3. 微观粒子的波粒二象性 当入射强电子流时,单位时间许多电子通过双
缝，底片上很快出现衍射图样. 太原理工大学大学物理
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝．
7个 电子
100个 电子
20000 个电子
70000 个电子
屏上的一个亮点代表一个电子．
“一个电子”具有的波动性，衍射花样不是电子间 相互作用的结果。
,
t
)
2
(r1, Nhomakorabeat
)
2
(r2
,
t
)
2
四、波函数的归一化条件
在整个空间粒子出现的概率总和为1,要求
2
Ψ dxdydz 1
称为波函数的归一化条件.
描述粒子的波函数应该是:有限,单值,连 续,称为波函数的标准条件.
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例 作一微运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内。 已知其波函数为 试求：（1）常数 A； 解:（1）由归一化条件得:
§16.2 波函数及其物理意义
一、波函数 1925年，薛定谔首先在德布罗意假设的基础上
提出，用物质波的波函数来描述微观粒子运动状 态,就像用电磁波描述光子的运动一样。
用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的 物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。
机械波
将公式写成复数形式
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利用关系 自由粒子一维运动时的平面波波函数
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三、玻恩的波函数统计解释(1926年) 玻恩给出了空间一很小区域(体积元dV=dx dy dz)
内粒子出现概率的计算方法。 在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率
与该时刻、该地点波函数的平方 (r,t) 2 成正比.
(r,t) 2 (r,t)(r,t)* 称为概率密度.
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当波沿任意 r 方向传播时
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二、波函数的物理意义
经典粒子:不被分割的整体，有确定位置和运动 轨道；
经典的波: 某种实际的物理量的空间分布作周 期性的变化，波具有相干叠加性.
微观粒子的波粒二象性: 要求将波和粒子两种
对立的属性统一到同一物体上.
描述微观粒子运动状态的波函数
(r ,t)
是时间和
空间的函数，那么，波函数与粒子之间究竟有什么关
系呢？
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如何来认识物质波呢? 1.微观粒子不同于经典波
按经典波的观点,电子波在介质分界面上发 生反射和折射，电子将被分裂为反射部分和折 射部分，也就是说，从两个方向观察到的只是 电子的一部分。但实验中观察到的总是一个个 具有一定质量和电荷的电子，从来没有观察到 几分之一个电子。
结论:物质波与经典波是完全不同的.
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2. 微观粒子不同于经典粒子
先分别关闭上,下两缝，子弹分别通过上、下缝到 达屏上，观察子弹密度分布曲线P1、P2.将P1与P2叠 加，得到曲线P1 ＋P2. 再同时打开两个缝，发射两 倍数目的子弹，最后得到的子弹密度分布曲线P3。 结果显示为“非相干叠加”.
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当入射弱电子流时,电子几乎一个一个地通过 双缝.每通过一个电子,底片上出现一个点,开始时点 呈现无规分布，随着电子数目增多，逐渐形成衍射 图样.
一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果.
结论: 电子的行为既不等同于经典粒子(没有确定 的位置和运动轨道)，也不等同于经典波动(并非某 实际的物理量在空间做周期性的变化)，它兼有粒 子(不可分割的整体)和波动性(相干叠加)的某些特 征，这就是波粒二象性.
