的 能量应等于两个定态的能量差h： En Ek
反子，则吸收光子到高能级去。
31
（2）定态只能是这样的状态，电子饶核公转的动 量矩L等于 h 的整数倍。
2
L n h n n 1,2,3
2
玻尔从经典电磁理论和牛顿运动定律算出氢原子 的定态能量，从而得出氢原子所发的光的频率。
中的电子形成驻波.
28
§3 氢原子
一、原子光谱的实验定律
原子都会发光。原子发的光经过光谱仪后就形成 线状光谱。不同的原子，具有不同的线状光谱。 实验得知：每一种原子都有特定的一系列的光谱项，
个T1光,T谱2 ,项T3的,差。，它所发出的光的波数 ，就是两
Tn Tk n k
n为奇数时
nx A eiknx eiknx
n

2 A cos
kn x

A1
cos
x 2a21
n为偶数时
nx A eiknx eiknx
n
2iA sin kn x A2 sin 2a x
归一化（-a,a)的波函数
nx
1 cos n x
波函数。
d2x dt 2


2
x

0
x Acost
2y 1 2y x2 u2 t 2
y Acos 2 t x
8
当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）和动量P之间的关系：
E p2 2m
i 2 Et px
波函数
1
波函数
对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位 置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微 观粒子运动的基本方程。
一、波函数：
微观粒子，具有波粒二象性，为了把波动性和粒子性 统一起来，建立了薛定谔方程，方程的解（波函数） 即能很好的反映微观粒的波粒二象性。
一个沿x轴正向传播的频率一定的平面简 谐波可用下式表示
红外区
30
经典理论无法解释：电子饶核公转，作加速运动 的电子要辐射电磁波，其频率等于公转频率。电 子辐射电磁波，能量逐渐减小，饶核公转的轨道 半径就逐渐减少，频率也随之改变。光谱应是连 续的。 二、玻尔理论解释氢原子光谱：
将普朗克的量子概念应用于原子，假设：
（1）、原子有一系列的具有一定能量的稳定状 态—定态。定态中的电子，虽作加速运动，但不辐 射电磁波。仅当原子从能量大的定态跃迁到能量小 的定态时，才发射一个光子。根据能量守恒，光子
t,x Ae h
i 2 E
t
h
2 x 2


2
h
2

p2
9
h
h2 2
i
2
t
8 2m x2
一维自由粒子
若粒子处在势场，还应考虑势能：
E

p2 2m
Ux
h
2
2 2 2 2 x2 y2 z2
a 2a
n不同、能量不同、 波函数不同。
nx
1 sin n x
a 2a
nx 2 为该处粒子 出现的几率
n4
E4 16E1
4
1 sin 2x
aa
n3
E3 9E1
3
1 cos 3x
a 2a
n2
E2 4E1
2
1 sin x
aa
-a
0
n 1
A
2

r
2e

2r a
dr

1
0
0
14
A
a3
1 2
归一化波函数
r
1
r
ea
a3
在 r r dr之间出现的概率
Wr

r
2 4r 2dr

4 a3
e

2r a
r
2dr
wrdr
15
dwr dr

4 a3
2re 2r / a 1 r 0 a
电子受原子核作用力与此类似。
17
解下列定态薛定谔方程：
2 d2

E
2m dx2
a a 0
x a
令
2mE k2
h
2
2
d2 k 2 0
dx 2
其通解为 x Aeikx Beikx
18
利用边界条件求常数A、B
a Aeika Be ika 0 a Aeika Beika 0
2 2 U E
2m
三维势场粒子的薛定谔方程
U E 是 x y z 的函数
13
例：已知氢原子中电子的径向波函数为
r
Ae a
A、ar为常数，求 r r dr
之间电子出现的概率。在何处这个 概率最大？
解：先归一化求出常数A
4r 2r
2
dr

4
h只有 2D
2
2m U0 E
时
才有明显的穿透率
对于宏观粒子 m , D 很大 p 0
U U=U0
E
U=0
U=0
x
27
扫描隧道显微镜
隧道电流I与样品和 针尖间距离S的关系
I UeA S
1993年（M.F.Crommie) 把蒸发到 铜表面的 48 个Fe原子排列形成 7.13 nm 的“量子围栏”，围栏
定态轨道半径：
rn

n2
4 02
me 2
33
定态氢原子的能量：
E


me
32 2
4 0
2
h
21 n2源自me48 0 2 h
2
1 n2
能量是分立的。
n增大 则En增大
电子从高能级跃迁到低能级时，就发射一个光子：


En Ek h

me4
8 02h3

1 k2

1 n2

3、波函数的归一化：
2
x, y,zdv cx, y,z dxdydz 1
v
v
看来任意一个波函数模的平方对体积积分 不一定等于1
x,y,z v
2
dxdydz

1 c
若另有一个波函数： x, y,z
cx, y,z
2
2
v x, y,z dv v cx, y,z dv 1
Aeikx Be ikx ei2t
Acos 2 t x B cos 2 t x

25
是沿x轴正向、负向传播的波，形成驻波。两端 为波节。只有某些波长的波才能形成驻波。
n的取值不同,能量不同，波腹的数目不同。波腹 的数目等于n的数目。2a为半波长的整数倍.
d2wr 0 dr 2 r a 处出现的概率密度最大
W wrdr
概率最大
概率密度与概率不一样
16
§2 势阱中的粒子
一、 势阱中的粒子：
Ux 设粒子在势场中运动
x a x a
势能为零
势能为U 0
U0
-a 0 +a x
这样的势场称为方势阱，若U0 无限大，称为 无限方势阱。粒子在阱内自由，不能越出阱外。 阱外波函数必为零。
波数 即为波长的倒数
含完整波形的数目。
1

，单位长度波列中包
光谱学中常用 来区别不同波长的光
氢原子的光谱项： 29
Tn

R n2
n 1,2,3
R为里德伯恒量，R 1.096776107 m1
对氢原子来说，它所发的光的波数，就是某两
个光谱项的差。
赖 T曼n 线T1系 R：112
4、视为粒子：粒子出现的几率为该处归一化波函 数模的平方。
二、遂道效应：
如果势阱深度有限，E
的值不等于零，随 x
U0的而定衰态减波的函。数这在是阱和外经
典物理很不相同的量子效应。只能用波的反射
和透射来解释。
能量低的粒子能穿透有一定宽度的高势垒称为
遂道效应。
26
穿透概率为
p

e
2D
2mU0 E
y Acos 2 t x

2
上式是波动 方程的解
2 y x2

1 u2
2 y t 2
y Ae 用指数形式表示：
i
2
t


x


取复数实部
ei cos i sin ei cos i sin
对于动量为p、能量为E的微观粒子
2a很大，认为能量是连续的。
3、视为波
24
应在通解 x Aeikx Be ikx
e e i 2 Et
乘上单色因子
h
i 2t
因k 2 2mE 而E p2
2
2m
k 2 p2 k 2
2

p h h
2
i 2 Et
xe h


c

me4
8 0 2 h3c

1 k2

1 n2

所以：R

me4
8 02h3c

1.097373107
m 1
34
氢原子中的电子可按一 系列轨道运动。轨道半 径越大，原子能量也越 大。这一系列不连续的 能量值称为能级。
高 低，发射光子; 反 子，吸收光子。
缺陷：把电子当经典粒 子来处理，为了要得出 正确的结果，人为的附 加一个量子条件来挑选 定态。