2
（A）1
（B）2
（C）3
（D）与 a 有关不确定
11. 已知 n 维向量 α1 , α2 , α3 线性无关，那么向量组 aα1 bα2 , aα2 bα3 , aα3 bα1 线性无关的充分必要条件是 （A） a 0, b 0 （B） a b 0 （C） a b （D） a b
17. 设 3 阶矩阵 A 有 3 个不同的特征值 1 , 2 , 3 ,对应的特征向量分别是 α1 , α2 , α3 ,记 β α1 α2 α3 . （I）证明： β 不是矩阵 A 的特征向量. （II）若 Aβ A β ，求 A 的特征值并求行列式 A 2 E 的值.
T T T T
β2 能由 α1 , α 2 线性表出，则 a
.
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2016 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
1 0 7. 已知 A 0 1
0 0 1 1 1 0 ，则齐次方程组 An x 0 的通解 1 1 0 0 0 1
.
3 1 2 * * 2 8. 设 A= 0 1 且秩 r(A)=2，A 是 A 的伴随矩阵，则齐次方程组 A x=0 的通解 1 a 4 a
共有 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个
1 0 0 0 1 2 , 0 0 1
1 0 0 2 1 0 0 0 1
1 a x1 x2 x3 0 x1 1 a x2 x3 a . 14. 解方程组 x1 x2 1 a x3 a 2 当 a 为何值时，方程组无解？当 a 为何值时，方程组有解，并在有解时求其所有的解.
8. 13.C
5.
a 1
6. a 1
k1 0, 1,1, 0 k2 1, 0, 0,1
11. D 12. C
k1 1, 0, 1 k2 5,3, 4
T
T
2 2 2 2 9. 2 y1 2 y2 2 y3 2 y4
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n 若 2,3, 4 ，求 A .
T
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T 2 2 2 20. 已知 1, k , 2 是二次型 x Ax ax1 ax2 kx3 2 x1 x3 2 x2 x3 矩阵 A 的特征向量.
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2016 线性代数考前练习
基本功提要 1.矩阵的秩
r A r A 中有 r 阶子式不为 0，每 r 1 阶（如果有）子式全为 0. r A ≥ 2 A 中有 2 阶子式不为 0. r A 3 A 中每一个 3 阶子式全为 0. r A A 列秩 A 行秩.
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16. 设 A α1 , α2 , α3 , α4 是 4 阶矩阵，方程组 Ax β 的通解是 1, 2,1, 1 k 1,3, 2, 0 ，
T T
设 B α3 , α2 , α1 , β α4 ， γ α1 3α2 5α3 . （I）判断 α1 能否由 α2 , α3 线性表出，说明理由. （II）判断 α 4 能否由 α1 , α2 , α3 线性表出，说明理由. （III）求方程组 Bx γ 的通解.
, αs 线性无关. ks αs 0 用或重组证出必有 ki 0 i 1, 2,
(1)定义法 对 k1α1 k2α2 (2)秩 设法证 r α1 , α2 ,
, s .
, αs s .
3. Ax 0 有非 0 解 r A n （未知数的个数）. 齐次方程组线性无关解向量的个数： n r A .
3
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1 1 1 18. 已知矩阵 A 1 a 1 不能相似对角化. 3 1 3
（I）求 a 的值. （II）求矩阵 A 的特征值、特征向量.
0 1 2 19. 已知 3 阶矩阵 A 各行元素之和均为 2，且满足 AB O ，其中 B 1 1 3 . 1 2 5
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1. 已知 α1 , α2 , α3 , α 4 均为 3 维列向量，矩阵 A α1 , α2 , α2 2α3 α4 ， B α3 , α2 , α1 ，
C α1 α2 α4 , α1 α2 α4 , α1 2α2 4α4 ，若 B 6 ， C 30 ，则 A
参考答案 1. 7
1 2 0 0 1 2. 0 0 1 0
7. 10.B
0 0 2 1 3 2 3 3. 2 1 0 1
T T
4 2 4 4. 8 4 8 8 4 8
15.
设 A 是 m× n 矩阵，η1,η2,…,ηt 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，α 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解.
（Ⅰ）证明：α,α+η1,α+η2,…,α+ηt 线性无关. （Ⅱ）证明方程组 Ax=b 的任一个解必可由 α,α+η1,…,α+ηt 线性表出.
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T T 1
.
1 3 4. 已知 A 0 0
0 1 2 0
0 1 1 1 0 ， B 2 2 2 ，矩阵 X 满足 AXA ABA XA AB ，则 X 3 3 3 3 1 3
0 1 1 2 （D） + k 2 0 3 1
1 0 0 13. 已知 A 0 1 0 ，则下列矩阵中和矩阵 A 相似的是 0 0 1 1 0 0 0 1 0 , 0 0 1
T
（I）求 a, k 的值. （II）用正交变换化二次型为标准形，并写出所用坐标变换.
1 1 3 0 21. 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，且 A 3E 0 ，若 A 0 1 0 0 . 1 1 3 0
.
9.
4 元二次型 x T Ax 的正惯性指数 p 3 ，且二次型矩阵 A 满足 A4 3 A2 4 E ，则二次型 x T Ax 在正交变换 .
下的标准形是
1 2 0 10. 已知 A, B 满足关系式 A 2 AB E ，若 B 0 3 a ，则秩 r AB 2BA 3 A = 0 0 5
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12. 已知 α1 , α2 , α3 是非齐次线性方程组 Ax b 的三个解，秩 r A =3，若 α1 α2 1, 2,3, 4 ,
T
α2 2α3 2,3, 4,5 ，则方程组 Ax b 的通解
T
1 1 2 0 （A） +k 3 1 4 2
2 1 1 3 2 （B） +k 3 4 0 5 1

1 1 1 0 （C） +k 1 1 1 2
（I）求 Ax 0 的通解.
2 2 y3 （II）若二次型 x T A kE x 的规范形是 y12 y2 ，求 k 的取值.
1 （III）求 A E . 2
6
23.已知 A 是秩为 r 的 n 阶实对称矩阵，且 A2 2 A O . （I）证明矩阵 A 3E 正定. （II）写出二次型 x T A 2 E x 的规范形. （III）求 E A A2 的值.
公式：① r AT r A ；② r kA r A , k 0 ；③ r A B ≤ r A r B ； ④ r AB ≤ min r A , r B ，特别地，如 A 可逆，则 r AB r B ， r BA r B ； ⑤ r AT A r A ；⑥若 AB 0 ，则 r A r B ≤ n （ n 是 A 的列） ； 特别地，如 r A 1， （1） E A n aii n1 ， （2） A2 aii A . 2.如何证明向量组 α1 , α2 ,
.
2. 3 阶矩阵 A 可逆，把矩阵 A 的第 2 行与第 3 行互换得矩阵 B ，把矩阵 B 的第 1 列的 2 倍加到第 3 列得到单位矩阵 E ，则 A* .
3. 已知 α 2,3, 1 ， β 1, 0, 1 ， A E αβ T ，则 A 2 E
2013~2015 考题选
1. 设 1 , 2 , 3 均为 3 维向量， 则对任意常数 k , l ， 向量组 1 k 3 , 2 l 3 线性无关是向量组 1 , 2 , 3 线性无 关的 （A）必要非充分条件. （C）充分必要条件. （B）充分非必要条件. （D）既非充分也非必要条件. （0.383~0.433）
1 0 5. 已知矩阵 A 2 3
1
1 1 0 1 1 与矩阵 B 2 3 a 5 1 a 1
1 1 1 0 不等价，则 a a 3 5 1
.
6. 已知 α1 1, 2,1 ， α2 2,3, a ， β1 1,3, 0 ， β2 1, a 2, 2 ，若 β1 不能由 α1 , α 2 线性表出，