线性代数讲义线性代数攻略线性代数由两部分组成:第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策1. 计算题精解计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题.一.行列式的计算:单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则:l 典型方法降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积)例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式：.解先算|B|=xn;再算|A|：故|C|=|A|(-1)(1+¼+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1|=(-1)(1+2n)n(n+x)/x.例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ].分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.)例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6.巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6.例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ].解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了:A-1+2A* = A-1 (E+2A A*)= A-1 (E+2|A|E)=-11A-1.故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6.本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵!例2(上海交大2002) 计算行列式其中,.本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B¹0,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn¹0. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|.很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以,|2A2+3E|=3´5´35=525.例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA¢=I,|A|<0,求|A+I|.解首先, 1=|AA¢|=|A|2,所以|A|=-1. 其次,|A+I|=|A+AA¢|=|A||I+A¢|=|A||I+A|=-|I+A|,故|A+I|=0.(涉及的知识点: |A|=|A¢|, (A+B)¢=A¢+B¢.)例5(1999)设A是m´n矩阵,B是n´m矩阵,则A.当m>n时,必有行列式|AB|¹0.B.当m>n时,必有行列式|AB|=0.C.当m<n时,必有行列式|AB|¹0.D.当m<n时,必有行列式|AB|=0.二. 矩阵与n维向量空间l 核心内容矩阵运算(主要是乘法)/矩阵的秩/可逆矩阵/伴随矩阵与逆矩阵/线性方程组的一般解/线性相关与线性无关/极大线性无关组/向量组的秩/向量组的等价/n维线性空间/维数/基/坐标/过渡矩阵/线性空间与线性方程组的关系/欧氏空间/内积/标准正交基/正交矩阵/Gram-Schmidt正交化方法l 典型方法初等变换与初等矩阵l 典型例题1.解矩阵方程:原则是先化简后计算例6设矩阵B满足方程 .求B.解A显然可逆,故将方程两端右乘A-1,得 ;再左乘A,由 ,得,所以例7 设解移项得,(2E-A)X=B,所以X=(2E-A)－1B.再使用初等变换(如此较少出错,不要先求逆,再计算矩阵的乘积:除非矩阵比较特殊或非常简单)求(2E-A)-1B：例8(2000) 设矩阵A的伴随矩阵 ,且 ,求B.解先化简可得AB=B+3A,即(A-E)B=3A,故B=3(A-E)-1A.而A与其伴随矩阵的关系为A*A=|A|E,从而A=|A|(A*)-1.|A|n=|A||A*| =8|A|, n=4, |A|=2. 所以B= 3(A-E)-1A=6[A*(A-E)]-1=6 (2E-A*)-1.因为 ,故由初等变换可得.(实际上不用作具体计算,因为是将单位矩阵的第1行的-1倍加到第3行,再将第四行乘以-6,再将第2行的3倍加到第4行;反其道而行之-注意顺序:矩阵乘积的逆要反序,即可).例9(2001)设矩阵A满足A2+A-4E=O,则(A-E)-1=[ ].2.解线性方程组例10(1998)已知线性方程组(I)的一个基础解系为 …,.试写出线性方程组(II)的通解,并说明理由.解求线性方程组的通解的前提是知道系数矩阵的秩,未知数的个数:方程组(I)与(II)均有2n个未知数;由已知条件(I)的一个基础解系含有n个解向量,从而其系数矩阵r(A)=的秩为2n-n=n. 显而易见,方程组(I)与(II)有某种密切的联系,为了看清楚这种联系,最好的办法是采用矩阵形式:将方程组(I)与(II)分别改写为矩阵形式可得:Ax=0与(II)Bx=0.由于B的行向量组是一个基础解系,故线性无关,所以r(B)=n.因此方程组(II)的一个基础解系含n个解向量.由已知条件,B的每一行的转置向量都是(I)的解,即ABT=0.从而知(ABT)T=0,即BAT=0.因此A的每一行的转置向量都是(II)的解.但r(A)=n,所以A的行向量线性无关,因此AT的全体列向量组恰好构成(II)的一个基础解系,所以通解迎刃而解.Ok.下面是一个轻松的例子:例11 解线性方程组 ,其中a与b是参数.解注意,当系数矩阵或增广矩阵含参数时,不要让参数参与初等变换(以免无意中用0作了分母):所以当a¹2时方程组有唯一解:当a=2,b¹1时无解；当a=2,b=1时有无穷多组解：，k为任意常数.注意事项：尽可能避免使用参数的倒数作因子，以防漏解。
万不得已时，应先讨论可能使分母为0的情况。
例12(1994) 设四元线性齐次方程组(I)为又已知某线性齐次方程组(II)的通解为 .求线性方程组(I)的通解;问线性方程组(I)与(II)有无非0公共解?若有,则求出.若无,则说明理由.解(1) 此容易.未知数的个数n=2,系数矩阵的秩r=2,故基础解系含两个解向量(选x2与x3为自由变量),比如 ,故(I)的通解为 .(2)线性方程组(I)与(II)的公共解需满足(左边为(II)的解,右边为(I)的解).故需求不全为0的系数,即下面的线性方程组的非0解:系数矩阵为故所求不全为0的系数为因此(I)与（II）的非0公共解为例13(2001) 设是线性方程组Ax=0的一个基础解系, 是实常数.试问满足什么关系时, 向量组也是Ax=0的一个基础解系?解一个向量组什么时候可以成为一个齐次线性方程组的基础解系?两个条件:一是精干(即本身是线性无关的),二是能干(即该组能够表示所有解向量).所以欲使该向量组构成一个基础解系,必要且只要其线性无关(因为它只有s个向量).将其改写为下述矩阵形式:可知需要右端的矩阵A可逆:当且仅当行列式|A|¹0.直接计算可知所以当时,该向量组也是一个基础解系.例14(2004) 设有齐次线性方程组试问a取何值时,该方程组有非0解,并求出其通解.解该方程有n个未知数,n个方程,故可由Cramer法则解决:即它有非0解当且仅当系数行列式等于0.但还要求出通解,此法就不行了,此时必须使用初等变换.故先算行列式:容易看出系数行列式的规律,即所有列的和均相等,故其值为(此还可由特征值得到,你看出来了吗?).所以当a=0或时,方程组有非0解.当a=0时,方程组变为,因此其通解为为任意常数,其中.当时,对系数矩阵作初等变换:故通解为(取x1为自由变量!)为任意常数.例15(2002) 已知四阶方阵,其中线性无关, .如果,求线性方程组Ax=b的解首先要知道Ax=0的解.由于r(A)=3,n=4(未知数的个数),故只需求一个非0解即可.什么是非0解?当然是0向量的组合系数,也就是由得到的的向量a=(1,-2,3,0)T.其次需要一个特解,即由得到的系数g=(1,1,1,1)T.最后,将上述解组合起来即可得到通解:x=k(1,2,-3,0)+(1,1,1,1).例16(1998)设矩阵是满秩的,则直线与直线 ( )A. 相交于一点.B. 重合.C.平行但不重合.D.异面.例17(1996)求齐次线性方程组的基础解系.例18(1997)设A是可逆方阵,将A的第i行和第j行对换得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆;(2)求AB-1.三.线性相关与线性无关例19(基本运算技能) 设向量组求该组的一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解构造矩阵,并利用行初等变换求其简化阶梯形矩阵：因此,该向量组的秩为3, 构成一个极大线性无关组,且 .例20(2000) 设n维列向量线性无关,则n维列向量线性无关的充分必要条件是A.向量组可由向量组线性表示;B.向量组可由向量组线性表示;C.向量组与向量组等价;D.矩阵与矩阵等价.解 B最错:此时向量组的特征完全没有体现;A也错,因为此时向量组当然线性无关,故是充分条件,但不必要;C也是充分条件,不必要.故选D.例21(2003) 设向量组I: 可由向量组II: 线性表示;则A.当r<s时,向量组II必线性相关;B.当r>s时,向量组II必线性相关;C.当r<s时,向量组I必线性相关;D.当r>s时,向量组I必线性相关.解由于只知道I能由II线性表示,故只能讨论I的线性相关性, 对II则一无所知(它可能线性相关,也可能线性无关).所以A,B错.只与C,D就较为明显了:向量越多则越容易线性相关.当r>s时,I中的向量个数多于II,只能线例22(2004) 设A，B为满足AB=0的任意两个非0矩阵，则必有A.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关B.A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关C.A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关D.A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关分析(2004-12) 这实际上是考察我们对矩阵乘法的理解:”左行右列”原则说AB的列是A的列的线性组合,而其行是B的行的线性组合,现在AB=0,故A的列的线性组合为0,B的行的线性组合为0,从而A的列线性相关,B的行线性相关,选A.[这是概念性很强的线性代数题,50％的考生早在上线性代数课的时候就晕过无数次,现在又要再晕一次了(我们将在线性代数的复习中帮助大家苏醒过来).但现在我们是在做选择题!选最简单的矩阵(当然1×1的不行---为什么???故1×2的最简单)如下: .如此,A的行线性无关,C,D错;B的列线性无关,B,D错!]例23(1997) 设则三条直线交于一点的充分必要条件是A. 线性相关;B. 线性无关;C.秩( )=秩( );D. 线性相关; 线性无关.解实际上是解线性方程组:交于一点等价于有唯一解,等价于系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于2.所以选D.(试试用特殊值法)例24(1998) 设A是n阶矩阵,若存在正整数k使得线性方程组Akx=0有解向量a,且Ak-1a¹0.证明:向量组a,Aa,…,Ak-1a是线性无关的.证明设b0a+b1Aa+…+bk-1 Ak-1a=0,我们证明所有的系数只能等于0.为此, 两边同乘以Ak-1,可得b0 Ak-1a+b1Ak-1Aa+…+bk-1 Ak-1Ak-1a=0,a是Akx=0的解,所以Aka=0,因此b0 Ak-1a=0;但Ak-1a¹0,只有b0=0. 再乘以Ak-2,可得b1Ak-2Aa+…+bk-1Ak-2Ak-1a =0,即b1Ak-2Aa=0,因此b1=0.类似地,可以证明b2=b3=…=bk-1=0.例25(1996) 设a是n维非0列向量,a¢是a的转置向量,E是n阶单位矩阵,A=E-aa¢.证明: (1)A2=A的充分必要条件是a¢a=1.(2)当a¢a=1时,A是不可逆矩阵.证明:例26(应用) 设Am´p,Bp´n,则r(A)+r(B)-p £ r(AB)£ min{r(A),r(B)}.证明先看第二个不等式:矩阵的乘法具有什么样的性质?”左行右列”.更进一步,乘积矩阵的行等于右边矩阵的行的线性组合,组合系数是左边矩阵相应的行;乘积矩阵的列等于左边矩阵的列的线性组合,组合系数是右边矩阵相应的列.于是,AB的列均可由A的列线性表示,而其行可由B的行线性表示,从而其列秩不超过A的列秩,其行秩不超过B的行秩,因此该不等式成立.再来看第一个不等式:回忆可逆矩阵不改变矩阵的秩,且存在可逆矩阵P与Q使得 ,其中r= r(A). 于是PAB=PAQQ-1B = (PAQ)Q-1B=C,其中C的前r行为Q-1B的前r行，后m-r行均为零。