齐
化为行阶梯形矩阵
线性代数总复习
次
线
step2. 讨论方程组的解
性
step3.（无穷解时） 进一步将矩
方
阵化为各首非零元为1，所在
程
列其余元素为零的矩阵
组
step4. 选择自由未知量，基本
求
未知量
怎样选择？
解
过
step5. 写出同解方程
程
step6. 求出基础解系
怎样求？
step7. 写出通解
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4 ．了解向量组等价的概念，了解向量组 的秩与矩阵秩的关系。
重要结论2
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线性代数总复习
5．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非 齐次线性方程组有解的充分必要条件。
6．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及 求法。
3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。
4．掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方 法。
线性代数总复习
线性代数总复习讲义分析
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行列式的计算
线性代数总复习
n阶行列式的计算方法很多，除直接按 定义计算外，一般还有下列方法： 1．利用行列式的性质化为三角形行列式计
算法 2. 降阶展开法
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第二、三章教学要求：
线性代数总复习
1．理解矩阵的概念。
2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称
6．了解分块矩阵及其运算。
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第四章教学要求：
1．了解n维向量的概念。
线性代数总复习
重要结论1
2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关 向量组线性相关、线性无关的重要结论。
3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩 阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大 线性无关组及秩。
矩阵，以及它们的性质。
3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。
4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的 充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。
5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概 念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。
4．了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特 正交化方法。向量的单位化等。
结论 上页 下页 返回
第五章教学要求：
线性代数总复习
1．掌握二次型 及其矩阵表示，了解二次型秩的概念， 了解二次型秩的标准形、规范形的概念，了解正、负 惯性指标（数）。
2．掌握化二次型为标准形的方法（配方法）。
3．会判定二次型和对应矩阵的正定性等。
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线性代数总复习
充要条件 1
一般情况
当向量个数＝向量维数
线
性 相
相应的齐次线性方程组
关
x1a1+x2a2+…+xmam＝θ
有非零解
系数行列式 D＝0
线 相应的齐次线性方程组
性 无
x1a1+x2a2+…+xmam＝θ
关
只有唯一零解
系数行列式 D≠0
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充要条件 2
线性代数总复习
加长不变性
R n 中，任一无关组
向量个数 ≤ 向量维数 n
关
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线性代数总复习
• 向量组 a1 , a2 ,···, am 线性无关， 而添加 β 形成的向量组 a1 , a2 ,···, am ,β 线性相关， 则 β 可由 a1 , a2 ,···, am 线性表示，且表示唯一。
结论1结束
构成矩阵 A ； ⑵ 求出矩阵 A 的秩，也即原向量组的秩
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r(A) r(A,b)无解
线性代数总复习
r(A)=r(A,b)=n 有唯一解
Ax=b
b=0
b≠0
r(A)=r(A,b)<n
有无穷多解
克拉默法则，x j
Dj D
初等变换，d1 d2 dnT
齐次方程的基础解系 非齐次方程的一个特解 非齐次方程的通解
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step1. 系数矩阵初等行变换
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线性代数总复习
化 二 次
配方法
平方项系数至少有一个不等于零。 二次型不出现平方项，只有xixj的乘积项.
型
为
标
准 形 的
正交变换法 .
方
法
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线性代数总复习
判别n元实二次型正定的充要条件是：
1）A是正定矩阵 2）f 的正惯性指数为 n
3）f 的 规范形为 z1 2z2 2zn 2
过
程
step7. 求出齐次线性方程组的通解
怎样求？
step8. 写出非齐次线性方程组的通解上页 下页 返回
第五章教学要求：
线性代数总复习
1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求 矩阵的特征值和特征向量。
2．了解相似矩阵的概念、性质及掌握矩阵可相 似对角化的充分必要条件。
3．掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法。
step1. 增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵 线性代数总复习
非
齐
step2. 讨论方程组的解
次
step3.（无穷解时） 进一步将矩
线
阵化为各首非零元为1，所在
性
列其余元素为零的矩阵
方
step4. 写出非齐次线性方程组的同解方程组
程
组
step5. 求出非齐次线性方程组的特解
求
解
step6. 写出齐次线性方程组的同解方程组
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计算问题
1）怎样求矩阵 A 的秩？------ 行、列
线性代数总复习
A( 行)初 等 变 换 行阶梯形矩阵
则 秩（A）＝ 行阶梯形矩阵中非零行的行数
－－最常用
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线性代数总复习
2）怎样求向量组 1,2,,s 的秩？ ------ 行、列 ⑴ 以向量组 1,2,,s 中各向量作为列向量，
4）f 的 标准形
g ( y 1 ,y 2 , ,y n ) d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 d n y n 2 di 0,i1,2,,n
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线性代数总复习
5）存在可逆矩阵C，使实对称矩阵A= CTC 6）实对称矩阵A合同于I 7）实对称矩阵A的n个特征值 全大于零。
(8)矩 阵 A 的 每 一 个 顺 序 主 子 式 均 大 于 零 ， 即 ： A k 0,i1 ,2个向量可以由
相 关
其余 m -1 个向量线性表示
线
性
其中每一个向量都不能
无 关
由其余 m -1 个向量线性表示
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部分 与 整体 长短变化
线性代数总复习
向量个数 与 维数
线
若向量组中
性 相
部分相关 => 整体相关
缩短不变性
向量个数 ＞ 向量维数
关
必线性相关
线
性 无
整体无关 => 部分无关