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第七章 梁的弯曲变形
例 7-4 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨
中截面挠度ωc和梁端截面的转角θA，θB.
Fq
B 解 yc yqcyFc
A
C EI z
l2
l2
yqc
5qL4 384EI z
yFc
FL3 48EI z
q
B
yc
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C EI z
l2
axL
L
AC段
E EzIyzI''11 M 2F1 Lbxx2CF 1Lb x
CB段
E E zy'I z'2 I 2 M 2 F 2 L x x b 2 1 2 F F L x xb a F 2 x C a 2
E zy 2 I 6 F L x 3 b 1 6F x a 3 C 2 x D 2
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y y i
i1
重要结论：
n
i ,
i1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
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第七章 梁的弯曲变形
叠加法计算位移的条件：
1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的； 2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线 性关系；
第七章 梁的弯曲变形
第七章 梁的位移-转角、挠度
7.1 工程中梁的变形 转角 挠度 7.2 梁挠曲线的近似微分方程 7.3 利用积分法求梁的位移 7.4 利用叠加法求梁的位移 7.5 梁的刚度条件与校核 7.6 简单超静定梁的计算 7.7 提高抗弯刚度的措施
1
随 着 课 堂 程改 革的深 入，义 务教育 阶段的 化学新 教材已 经用于 课堂教 学。在 新 教 材 实 施 过程中 ，教师 们普遍 认为： 这套教 材体系 全新、 图文并 茂，体 现了教 材 的开放 性，鼓 励教师 实施个 性化教 学，有 利于培 养学生 的综合 素质和 科学素 养。 但 在 教 学 中 也面临 着许多 疑难和 困惑， 主要表 现在以 下方面 。 1.新 教 材 改 变
y
边界条件
x L B 0 x L yB 0
x 0
A
FL 2 2 EI z
C1 C
FL2
2
2 EI FL 3
z
3 EI z
yA
FL 3 3EI z
EEzIIyzyFF262xx3dxC C11xx C C22
Fx2 FL2
2EIz 2EIz
y Fx3 FL 2 x FL 3 6EIz 2EIz 3EIz
等 是氧化 物，可 以让学 生去领 悟什么 样的物 质是氧 化物。 但教学 起来确 实有困 难， 因 为学生 不知道 单质， 化合物 的概念 。 2.教材 中知识 阐述太 简略。 纵观全 书，
课 文 中 的 知 识阐述 简略。 作为教 师在教 学过程 中，应 根据《 课程标 准》的 要求， 需 要拓展 的地方 不少， 如化学 式的书 写方法 ，新教 材中没 有讲单 质化学 式如何 写？ 含 原 子 团 的 化学式 书写方 法，读 法等应 适当补 充，不 然，学 生进一 步学习 化学就 感 到 处 处 有 困难。 新 的 《 九 年级化 学课程 标准》 为化学 教学树 立了新 理念，
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。
EzIC2 F La b 2FL 6 b 2 L b2
C
Faabb
3L
2 FLb x02Fb L 62L b2 0
x0
L2 b2 3
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
转角为零的点在AC段
b 1L 2
b0
x0
1 2
L
x0
3 L 0.57L714 3
第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
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第七章 梁的弯曲变形
§7-5 梁的刚度条件
1.刚度条件
y max [y ], max [ ]
ym ax l
y l
建筑钢梁的许可挠度： 混凝土梁的许可挠度：
l~ l 250 1000
l 300
25
7-5
第七章 梁的弯曲变形
例7-7 悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长
7
d2y dx2
M ( x) EIZ
A
第七章 梁的弯曲变形
C
Bx
y
d y
dx
M(x)d EI Z
xC1
C B
tan dy
dx
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。
y M E (Z x I )d• xdx C 1xC 2
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第七章 梁的弯曲变形
通过积分求弯曲位移的特征：
度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力[σ]=160MPa，梁
的许可挠度[y/L]=1/500。试选择工字钢的型号。
q
1.按强度选择
A
C
L 2a
Байду номын сангаас
L 2a
B
W
M max
3 qa
2
2
14.06cm3
查表：选16号工字钢
2.按刚度选择
q
A L 2a C
q
L 2a
A C
q
Iz 11 c4 3 m , 0W z 1c 43 m 1
EIdd2xy2 EIy'' M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为
Mi ( x) ，转角为
，挠度为
i
yi
，则有：
EIiy''Mi(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi (x) M(x) i1
n
n
所以， E I y''i E(Iyi)''M(x)
i1
i1
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7-4
第七章 梁的弯曲变形
n
故
y' ' ( yi )' '
查表
5q0L4 384 EI Z
C
1 5q0L4 2 384EIZ
5q0 L4 768 EI Z
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第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
A
B
L 2a
q
L 2a
例7-6 已知：悬臂梁受力如图
示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC和转角C
C 解 1）首先，将梁上的载荷
变成有表可查的情形
l2
A qAFA
F
B
qA
qL3 24 EI z
FA
FL2
16 EI z
A
C EI z
l2
l2
A
qL3 24EIz
FL2 16EIz
B
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第七章 梁的弯曲变形
例7-5 AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
q0
A
q0L 6
B
C
l q0L 3
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半
了 传 统 的 编 排模式 。在以 往的化 学教材 中，每 个概念 的出现 是循序 渐进的 ，让学 生 了 解 概 念 的内涵 和外延 ，而新 教材有 的概念 是先让 学生感 知，再 逐步掌 握。如 氧 化 物 这 个 词在单 质，化 合物之 前出现 了，并 没有下 定义如 P2O5、 AL2O3、 SO2
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作 用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都 可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度 是能满足工程要求的.
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第七章 梁的弯曲变形
讨论 积分法求变形有什么优缺点？
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第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为 M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
A
C 面的挠度和转角。
L 2a B
L 2a
ql 4 yC1 8EI ,
C1
ql 3 6 EI
yC 2
yB2
B2
l 2
C2
ql3 48EI
A
B
C
ql4
ql3 l
,
q
128EI 48EI 2
3）将结果叠加
2
41ql4
yC i1 yCi 384EI
C
2
Ci
i1
7ql3 48EI
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第七章 梁的弯曲变形
求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
Fb L
x
F b
C
l
B
x EzI12 F Lx b 2FL b 6 2 L b2
Ezy I 1F 6Lx b 3FL 6 b 2 L b2x
Fa
L
E z2 I 2 F L x 2 b 1 2 F x a 2 F L 6 2 L b b 2