导 数 专题训练1．定积分ʃ10x (2－x )d x 的值为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π 2．已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是( )A ．－eB ．eC ．－e 22 D ．4e 23．已知函数f (x )＝f ′(1)e e x ＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.(]－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 4．已知函数f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为( )A.110B.25C.15D.1305．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (x ＋1)，x >0，12x ＋1，x ≤0，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围为( )A ．[3－2ln 2,2)B ．[3－2ln 2,2]C ．[e －1,2)D ．[e －1,2]6．已知函数f (x )＝a ln(x ＋2)－x 2，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p >q ，若不等式f (p ＋1)－f (q ＋1)p －q>2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.()12，＋∞B.[)12，＋∞C.()24，＋∞D.[)24，＋∞ 7．y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5)8．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，e 28 B.⎝⎛⎦⎤0，e 24 C.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 9．已知函数f (x )＝e 2 018x ＋mx 3－m (m >0)，当x 1＋x 2＝1时，对于任意的实数θ，都有不等式f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (x 2)＋f (cos 2θ)成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2] C.(]1，2 D ．(1，＋∞)10．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R)有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 2－12e －1 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋1，－2≤x <0，e x ，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－13，e 2B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e 2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－13，1e D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e ，＋∞) 12． 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2＋a )x (a ∈R)，g (x )＝xe x －2，对任意的x 0∈(0,2]，关于x的方程f (x )＝g (x 0)在(]0，e 上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围(其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数)为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2e ，－3＋2e e 2＋e B.⎝⎛⎦⎤－2e ，－e e 2＋2 C.⎝⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e 2＋e D.⎝⎛⎭⎫－e ，－ee 2＋213．若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________.14．若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝________.15．若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.718 28…)，则实数m 的取值范围是_____________．16．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba 的最小值为________． 所以b a 的最小值为－1e.导 数 专题训练答案1．定积分ʃ10x (2－x )d x 的值为( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π 答案 A 解析 ∵y ＝x (2－x )，∴(x －1)2＋y 2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，∴定积分ʃ10x (2－x )d x 等于该圆的面积的四分之一， ∴定积分ʃ1x (2－x )d x ＝π4.2．已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是( ) A ．－e B ．e C ．－e 22 D ．4e 2答案 A解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x (2x －2)－ax ＝e x (x 2－2)－ax(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x －a ln x (a ∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即ax ≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x (x 3－2x )，x >0，则 h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x >0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e. 3．已知函数f (x )＝f ′(1)e e x ＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.(]－∞，0∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得， f ′(x )＝f ′(1)e ·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x ＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为( )A.110B.25C.15D.130 答案 D解析 f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2＝(x －a )2＋(ln 3x －3a )2表示点M (x ，ln 3x )与点N (a,3a )距离的平方，M 点的轨迹是函数g (x )＝ln 3x 的图象，N 点的轨迹是直线y ＝3x ，则g ′(x )＝1x .作g (x )的平行于直线y ＝3x 的切线，切点为(x 1，y 1)，则1x 1＝3，所以x 1＝13，切点为P ⎝⎛⎭⎫13，0，所以曲线上点P ⎝⎛⎭⎫13，0到直线y ＝3x 的距离最小，最小距离d ＝110，所以f (x )≥110，根据题意，要使f (x 0)≤110，则f (x 0)＝110，此时N 为垂足，点M 与点P 重合，k MN ＝3a －0a －13＝－13，得a ＝130. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (x ＋1)，x >0，12x ＋1，x ≤0，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围为( )A ．[3－2ln 2,2)B ．[3－2ln 2,2]C ．[e －1,2)D ．[e －1,2] 答案 A解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则当ln(x ＋1)＝1时，得x ＋1＝e ，即x ＝e －1， 则满足0<n ≤e －1，－2<m ≤0，则ln(n ＋1)＝12m ＋1，即m ＝2ln(n ＋1)－2，则n －m ＝n ＋2－2ln(n ＋1)，设h (n )＝n ＋2－2ln(n ＋1)，0<n ≤e －1， 则h ′(n )＝1－2n ＋1＝n －1n ＋1，0<n ≤e －1，由h ′(n )>0，解得1<n ≤e －1， 由h ′(n )<0，解得0<n <1， 当n ＝1时，函数h (n )取得最小值 h (1)＝1＋2－2ln(1＋1)＝3－2ln 2， 当n ＝0时，h (0)＝2－2ln 1＝2； 当n ＝e －1时，h ()e －1＝e －1＋2－2ln(e －1＋1)＝e －1<2， 所以3－2ln 2≤h (n )<2，即n －m 的取值范围是[3－2ln 2,2)．6．已知函数f (x )＝a ln(x ＋2)－x 2，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p >q ，若不等式f (p ＋1)－f (q ＋1)p －q>2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.()12，＋∞B.[)12，＋∞C.()24，＋∞D.[)24，＋∞ 答案 D解析 由已知p >q ，可得f (p ＋1)－f (q ＋1)>2(p －q )， f (p ＋1)>f (q ＋1)＋2p －2q ， f (p ＋1)－2p >f (q ＋1)－2q ， f (p ＋1)－2p －2>f (q ＋1)－2q －2， f (p ＋1)－2(p ＋1)>f (q ＋1)－2(q ＋1)． 令g (x )＝f (x )－2x ，则有g (p ＋1)>g (q ＋1)． 因为p ，q ∈(0,1)，所以p ＋1∈(1,2)，q ＋1∈(1,2)，又因为p >q ，所以g (x )＝f (x )－2x 在(1,2)上为单调递增函数，则g ′(x )＝f ′(x )－2＝ax ＋2－2x －2≥0在(1,2)上恒成立，即a ≥(x ＋2)(2x ＋2)在x ∈(1,2)时恒成立， 令h (x )＝(x ＋2)(2x ＋2)＝2⎝⎛⎭⎫x ＋322－12， h (x )在(1,2)上为增函数， 所以a ≥h (2)＝24.即a 的取值范围为[)24，＋∞.7．y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2，因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．8．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，e 28 B.⎝⎛⎦⎤0，e 24 C.⎣⎡⎭⎫e 28，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 答案 D解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t ＝am 2－e t m －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t (t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e 24，故选D.9．已知函数f (x )＝e 2 018x ＋mx 3－m (m >0)，当x 1＋x 2＝1时，对于任意的实数θ，都有不等式f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (x 2)＋f (cos 2θ)成立，则实数x 1的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2] C.(]1，2 D ．(1，＋∞) 答案 D解析 g (x )＝f (x )－f (1－x )＝(e 2 018x ＋mx 3)－[e 2 018(1－x )＋m (1－x )3]，则g ′(x )＝2 018[e 2 018x ＋e 2 018(1－x )]＋3m [x 2＋(1－x )2]>0， 据此可得函数g (x )单调递增， 又x 1＋x 2＝1，则不等式f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (x 2)＋f (cos 2θ)，即 f (x 1)＋f (sin 2θ)>f (1－x 1)＋f (1－sin 2θ)，则f (x 1)－f (1－x 1)>f (1－sin 2θ)－f [1－(1－sin 2θ)]， 即g (x 1)>g (1－sin 2θ)，结合函数g (x )的单调性可得x 1>1－sin 2θ恒成立， 当sin θ＝0时，(1－sin 2θ)max ＝1，结合恒成立的条件可得实数x 1的取值范围是(1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝e x|x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R)有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫e 2－12e －1 答案 D解析f (x )＝⎩⎨⎧e xx ，x >0，－exx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e.当x <0时，f ′(x )＝－e x (x －1)x 2>0，函数单调递增，如图，画出函数的图象，设t ＝f (x )，当t >e 时，t ＝f (x )有3个根，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)或t 1≤0，t 2>e ，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a＝e 2－12e －1，检验满足条件；由t 1≤0，t 2>e 得⎩⎪⎨⎪⎧02－2a ×0＋a －1≤0，e 2－2a e ＋a －1<0，无解．故选D.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋1，－2≤x <0，e x ，x ≥0，若函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－13，e 2B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e 2，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－13，1e D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[e ，＋∞) 答案 B解析 函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点， 即方程f (x )＝ax －a 存在实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝a (x －1)的图象有交点，如图所示，作出f (x )图象，直线y ＝a (x －1)恒过定点(1,0)，过点(－2,1)与(1,0)的直线的斜率k ＝1－0－2－1＝－13，设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x 相切于点(x 0，0e x)， 则切点处的导数值为0e x，则过切点的直线方程为y －0e x ＝0e x(x －x 0)， 又切线过点(1,0)，则－0e x＝0e x(1－x 0)， ∴x 00e x＝20e x，得x 0＝2， 此时切线的斜率为e 2，由图可知，要使函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点， 则实数a 的取值范围是a ≤－13或a ≥e 2.13． 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2＋a )x (a ∈R)，g (x )＝xe x －2，对任意的x 0∈(0,2]，关于x 的方程f (x )＝g (x 0)在(]0，e 上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围(其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数)为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2e ，－3＋2e e 2＋e B.⎝⎛⎦⎤－2e ，－ee 2＋2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e 2＋e D.⎝⎛⎭⎫－e ，－ee 2＋2答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋2ax ＋(2＋a )＝(2x ＋1)(ax ＋1)x(x >0)， 当a ＝0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增． g (x )＝x e x －2，则g ′(x )＝1－x e x ， 当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，其中g (0)＝－2，g (1)＝1e －2，g (2)＝2e 2－2， 则函数g (x )在区间(0,2]上的值域为⎝⎛⎦⎤－2，1e －2， f (x )＝g (x 0)在(0，e]上有两个不同的实数根，则必有a <0，且由f (x )的解析式有f (0)→－∞，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a－1， f (e)＝1＋a e 2＋(2＋a )e ，则满足题意时应有⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a －1>1e －2，f (e )＝1＋a e 2＋(2＋a )e ≤－2，－1a <e ，注意到函数f (x )＝ln x ＋x －1是单调递增函数，且f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e －2，据此可知方程ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a －1＝1e－2的唯一实数根满足－1a ＝1e ，即a ＝－e ，则不等式ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1a －1>1e－2的解集为(－e ，＋∞)， 求解不等式1＋a e 2＋(2＋a )e ≤－2，可得a ≤－3＋2e e 2＋e . 求解不等式－1a <e ，可得a <－1e， 据此可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e 2＋e . 13．若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________.答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ，∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2，∴f ′(x )＝6－4x ，∴f ′(0)＝6－4×0＝6.14．若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝________.答案 －2ln 2解析 由题意可知，设切点为(x 0，y 0)，y ′＝e x ，由y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，得e x 0＝2，x 0＝ln 2，代入曲线得y 0＝0，然后将切点坐标代入切线得b ＝－2ln 2.15．若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.718 28…)，则实数m 的取值范围是_____________．答案 (－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫2e ，＋∞ 解析 由题意可得m ＝2x (2e x －y )(ln y －ln x )， 则1m ＝(2e x －y )(ln y －ln x )2x＝⎝⎛⎭⎫e －12·y x ·ln y x ， 令t ＝y x ()t >0，构造函数g (t )＝⎝⎛⎭⎫e －t 2ln t (t >0)， 则g ′(t )＝－12ln t ＋⎝⎛⎭⎫e －t 2×1t ＝－12ln t ＋e t －12(t >0)， 设h (t )＝g ′(t )，则h ′(t )＝－12t －e t 2＝－t ＋2e 2t 2<0恒成立， 则g ′(t )在(0，＋∞)上单调递减，当t ＝e 时，g ′(t )＝0，则当t ∈(0，e)时，g ′(t )>0，函数g (t )单调递增，当t ∈(e ，＋∞)时，g ′(t )<0，函数g (t )单调递减，则当t ＝e 时，g (t )取得最大值g (e)＝e 2， 据此有1m ≤e 2，∴m <0或m ≥2e. 综上可得实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫2e ，＋∞.16．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则b a的最小值为________． 答案 －1e解析 因为函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，所以f ′(x )＝1x＋(e －a )，其中x >0， 当a ≤e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≤0不恒成立；当a >e 时，令f ′(x )＝1x ＋e －a ＝0，得x ＝1a －e， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以当x ＝1a －e时，f (x )取得最大值， 因为不等式f (x )≤0恒成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ＝－ln(a －e)－b －1≤0， 所以ln(a －e)＋b ＋1≥0，所以b ≥－1－ln(a －e)，所以b a ≥－1－ln (a －e )a，a >e ， 设F (x )＝－1－ln (x －e )x，x >e ， 则F ′(x )＝－1x －e x ＋1＋ln (x －e )x 2＝(x －e )ln (x －e )－e (x －e )x 2，x >e ，令H (x )＝(x －e)ln(x －e)－e ，则H ′(x )＝ln(x －e)＋1，由H ′(x )＝0，解得x ＝e ＋1e， 当x ∈⎝⎛⎭⎫e ＋1e ，＋∞时，H ′(x )>0，H (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，e ＋1e 时，H ′(x )<0，H (x )单调递减， 所以当x ＝e ＋1e时，H (x )取得最小值， 最小值为H ⎝⎛⎭⎫e ＋1e ＝－e －1e， 因为当x →e 时，H (x )→－e ，当x >2e 时，H (x )>0，H (2e)＝0，所以当x ∈(e,2e)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减， 当x ∈(2e ，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，所以当x ＝2e 时，F (x )取最小值F (2e)＝－1－12e ＝－1e， 所以b a 的最小值为－1e.。