指数函数及其性质导学案Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】指数函数及其性质（学案）（第1课时）【知识要点】 1.指数函数；2.指数函数的图象；3.指数函数的单调性与特殊点 【学习要求】1.理解指数函数的概念与意义；2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点； 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数x y 073.1=与x y )21(=的特点是 .（2）一般地，函数x a y =（ ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 .2.指数函数的图象与性质函数x y 2=与x y )21(=的图象，都经过定点 ，它们的图象关于对称.通过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数， 是定义域上的减函数.1.指出下列哪些是指数函数（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x y π=； （6）24x y =；（7）x x y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. 2.作出x y 3=的图象.3.求下列函数的定义域及值域： （1）3-=x a y ； （2）xxy 223-=；（3）11)21(-=x y4.下列关系中正确的是（ ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.例2 比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1；（2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0.1.函数b x a a a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ ）. （A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与x x g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R 4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（ ）. （A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （ D ）Φ=B A5.函数 x a x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）. （A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6. 函数13-=-x y 的定义域和值域分别为 .7.函数)10(2≠>=-a a a y x 且的图象必经过点 . 8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较a a -与b b 2-的大小.10.已知函数b a x f x +=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.（1）求)(x f 的解析式；（2）画函数)(x f y =的图象；1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次指数函数及其性质（教案）（第1课时）【教学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点.3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结合的方法等.【重点】指数函数的概念和性质.【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数x y 073.1=与x y )21(=的特点是 解析式都可以表示为x a y = 的形式 .（2）一般地，函数x a y =（1,0≠>a a 且）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R . 2.指数函数的图象与性质函数x y 2=与x y )21(=的图象，都经过定点 )1,0( ，它们的图象关于y 轴对称.通过图象的上升和下降可以看出， x y 2=是定义域上的增函数，xy )21(=是定义域上的减函数.图象定义域值域性质 过定点)1,0(，即0=x 时，1=y在R 上时减函数在R 上时增函数1.指出下列哪些是指数函数（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）x y )4(-=；（5）x y π=；（6）24x y =；（7）x x y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. 解：是指数函数的有（1），（4），（5），（8）.2.作出xy 3=的图象.解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0,30,33x x y x x x，如图：3.求下列函数的定义域：（1）3-=x ay ； （2）xx y 223-=； （3）11)21(-=x y解：（1）要使式子有意义，则需要03≥-x ，即3≥x ，定义域为),3[+∞. （2）要使式子有意义，则需要x x 22-为实数，因此，定义域为R .（3）要使式子有意义，则需要11-x 有意义，定义域为{}1≠x x . 4.下列关系中正确的是（ D ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数a就可以了.解：因为x a x f =)(得图象经过点),3(π，所以π=)3(f ，即π=3a解得31π=a ，于是3)(x x f π=.所以，1)0(0==πf ，331)1(ππ==f ，ππ1)3(1==--f .【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向学生渗透方程的思想.例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-； （3）3.07.1，1.39.0.【审题要津】（1），（2）利用指数函数单调性，（3）要构造中间数解：（1）5.27.1，37.1可看作函数x y 7.1=的两个函数值.由于底数17.1>，所以指数函数x y 7.1=在R 上是增函数.因为35.2<，所以35.27.17.1<.（2）2.01.08.0,8.0--可看作函数x y 8.0=的两个函数值.由于底数18.00<<，所以指数函数x y 8.0=在R 上是减函数.因为2.01.0->-，所以2.01.08.08.0--<. （1） 由指数函数的性质知 17.17.103.0=> 所以1.33.09.07.1>.【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小，或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是0或1±.根据具体情况也可能是其他数值.1.函数b x a a a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ C ）. （A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与x x g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ C ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R 4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（ A ）. （A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （ D ）Φ=B A5.函数 x a x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ B ）. （A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6.当]1,1[-∈x 时，函数x x f 3)(=的值域是 ]3,31[ .7.函数)10(2≠>=-a a a y x 且的图象必经过点 )1,2( .8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 47.1 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较a a -与b b 2-的大小.解：（1） 21)54(与31)109(底数不同，指数也不同，∴应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入31)54(或21)109(.x y =在+∞,0(）上是增函数∴2121)109()54(<，又3121.11090><<，x y )109(=是减函数， （2）2b a =∴只需比较22b b -与b b 2-的大小b b b >∴>2,1 ，即b b 222-<-又xb y =是增函数，b b b b222--<∴，即b a b a 2--<10.已知函数b a x f x +=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.(1) 求)(x f 的解析式； (2)画函数)(x f y =的图象；解：（1）由题意知：21)0(,3)21(=+==+=b f b a f ，解得：⎩⎨⎧==12b a（2）1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次解：设未漂洗时衣服上的污垢量为)0(>a a ,经过x 次漂洗后，存留污垢量为y ，则经过第一次漂洗，41)431(•=-=a a y ，经过第二次漂洗，2)41()431(41•=-••=a a y…… ……经过第x 次漂洗，x a a y )41(......4141•=••=若使存留污垢不超过原来的%1，即%1•≤a y ，至少要漂洗4次，存留污垢才不会超过原来的%1.。