第十二章全等三角形解答题专题提高训练 (17)1．如图，点D在BC上，∠1＝∠2，AE＝AC， BC＝DE；证明：AB=AD．2．如图，B，C，E，F在同一条直线上，BF=CE，∠B=∠C， AE∥DF，那么AB=CD吗？请说明理由．3．综合与实践：如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：在图1中，线段PM与PN的数量关系是，∠MPN的度数是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，①判断△PMN的形状，并说明理由；②求∠MPN的度数；（3）拓展延伸：若△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=10，点DE分别在边AB，AC 上，AD=AE=4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请直接写出△PMN面积的最大值．4．如图，在△ABC中，AD是中线，CE⊥AD于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F，求证：BF＝CE．5．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上．（1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）求证：∠EAC ＝∠DEB ．6．已知ACD ABE △≌△，且BE 交AD 于点F ，交CD 于点H ，AE 交DC 于点G ．求证：ACG ABF △≌△．7．如图所示，BE AD ⊥，CF AD ⊥，且DE DF =，请你判断AD 是ABC 的中线，还是角平分线？请说明理由．8．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，BD ＝CE ，∠DBC ＝∠ECB ．求证：AB ＝AC ．9．在△ABC 中，AB=AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．10．如图，四边形ABCD 中，//,AD BC DE EC =,连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BE ；（1）求证：AE EF =；（2）若BE AF ⊥，求证：BC AB AD =-11．如图，ABC ∆中，90A ∠=，AB AC =．（1）请用尺规作图的方法在边AC 上确定点P ，使得BP 平分ABC ∠；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BC AB AP =+．12．完成下面的说理过程．已知：如图，OA ＝OB ，AC ＝BC ．试说明：∠AOC ＝∠BOC ．解：在△AOC 和△BOC 中，因为OA ＝______，AC ＝______，OC ＝______，所以________≌________(SSS )，所以∠AOC ＝∠BOC(__________________)．13．如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点, AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F . 求证：（1）DE= DF ；（2）∠B =∠C ．14．（1）如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A=∠F ，AB=FD ．求证：AE=FC ．（2）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，tanC ＝,求腰AB 的长.15．如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且 AE ∥BC ．试问：EF 与CD 的关系?并加以证明．BF D A E16．如图，已知△ABC。

（1）作图：试过点C作直线CD∥AB．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）请你写出（1）的作图依据: .17．如图，已知AC平分∠BAD,CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，（1）求证：△BCE≌△DCF（2）若AB=17，AD=9，求AE的长.18．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOE=150°，∠AOB=35°，求∠AOD的度数.19．已知：∠AOB=50 ，∠AOC=12∠AOB，反向延长OC至D．（1）请用半圆仪（量角器）和直尺画出图形；（2）求∠BOD的度数．20．如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证:BE=CF.【答案与解析】1．证明见解析试题分析：利用三角形内角和定理得出∠E=∠C ，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．试题解析：∵∠1=∠2，∠AOE=∠COD ，∴∠E=∠C ，在△ADE 和△ABC 中，AE AC E C DE BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△ABC （SAS ），∴AB=AD ．2．相等，理由见解析.试题分析：根据BF=CE 可得BE=CF ，由AE ∥DF 可得∠AEB=∠DFC ，再根据∠B=∠C ，利用ASA 证明△ABE ≌△DCF 即可得.试题解析：相等 ，理由如下：∵BF=CE ，∴BF+EF=CE+EF ，∴BE=CF ，∵AE ∥DF ，∴∠AEB=∠DFC ，在△ABE 和△DCF 中 B C BE CF AEB DFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△DCF （ASA ），∴AB=CD.3．（1）PM=PN ；120°；（2）①△PMN 是等腰三角形，理由见解析；②120°；（3）492； (1)根据三角形中位线的性质可证明PN ∥BD ，PM ∥EC ，PN=12BD ，PM=12CE ，由AD=AE 即可证明PM=PN ，根据平行线性质及外角性质可证明∠MPN=∠B+∠ACB=120°；（2）①连接BD 、CE ，可证明△BAD ≌△CAE ，可知BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，根据三角形中位线可知PN∥BD，PM∥EC，PN=12BD，PM=12CE，可知PN=PM即可判断△PMN是等腰三角形．②由平行线的性质可知∠PNC=∠DBC，∠DPM=∠A=ECD，进而可求出∠MPN=120°，（3）由旋转知，∠BAD=∠CAE，可证明△ABD≌△ACE（SAS），可知∠ABD=∠ACE，BD=CE，通过（2）的方法可证PM=PN，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC根据外角性质可证明∠MPN=∠ABC+∠ACB，进而可知△PMN是等腰直角三角形，求△PMN 面积的最大值即可.（1）如图1中，∵AB=AC=BC，AD=AE，∴BD=CE，∠B=∠ACB=60°，∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，∴PN∥BD，PM∥EC，PN=12BD，PM=12CE，∴PN=PM，∠PNC=∠B，∠DPM=∠ACD，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠PNC+∠DCB=∠ACD+∠DCB+∠B=∠ACB+∠B=120°，故答案为PM=PN，120°．（2）如图2中，连接BD、EC．①∵∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∵BA=CA，DA=EA，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，∴PN∥BD，PM∥EC，PN=12BD，PM=12CE，∴PN=PM，∴△PMN是等腰三角形．②∵PN∥BD，PM∥EC∴∠PNC=∠DBC，∠DPM=∠A=ECD，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+∠PNC+∠DCB=∠ECD+∠DCB+∠DBC=∠ACE+ACD+∠DCB+∠DBC=∠ABD+∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ABC=120°．（3）如图3中，由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（2）的方法，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM=PN，同（2）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（2）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM=PN=12 BD，∴BD最大时，PM最大，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=12PM2=12×72=492.【点睛】本题考查旋转的性质，三角形中位线性质、全等三角形的判定，三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.4．见解析.根据AAS 证明△CED ≌△BFD 即可解决问题．∵CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠CED ＝∠BFD ＝90°，∵AD 是中线，∴BD ＝CD ，在△CED 和△BFD 中，CED BFD CDE BDFCD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CED ≌△BFD （AAS ），∴BF ＝CE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（1）详见解析；（2）详见解析．（1）用“SSS”证明即可；（2）借助全等三角形的性质及角的和差求出∠DAB ＝∠EAC ，再利用三角形内角和定理求出∠DEB ＝∠DAB ，即可说明∠EAC ＝∠DEB ．解：（1）在△ABC 和△ADE 中AB AD AC AE BC DE ⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝，∴△ABC ≌△ADE （SSS ）；（2）由△ABC ≌△ADE ，则∠D ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ．∴∠DAE ﹣∠ABE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，即∠DAB ＝∠EAC ．设AB 和DE 交于点O ，∵∠DOA ＝BOE ，∠D ＝∠B ，∴∠DEB ＝∠DAB ．∴∠EAC ＝∠DEB ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质求出相等的角，体现了转化思想的运用．6．见解析.。