2）几何意义
， ，
例1 证明： .
即证
证明： Cauchy中值定理的条件，即证。
二 、不定式极限 （ 法则）
1、 型不定式极限
定理6.6若 满足： ；
证明：补充定义 ，
用 Cauchy中值定理得：
.
注：1）定理中 ，
仍为 型不定式，可再次用 法则
例2 求
例3 求
解：
例4 求
2、 型不定式集极限
定理：若 满足 ；
3、能利用泰勒公式计算某些不定式的极限。
4、掌握泰勒公式在近似计算上的应用。
重点：带有佩亚诺余项型的泰勒公式及带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
难点：泰勒公式在近似计算中的应用。
多项式逼近函数为其实质
一、 带有 型余项的 公式
在 可微，则
用一次多项式 代替 ，误差为 一次项的高阶无穷小，对实际问题需要误差更高阶无穷小 为此，设
证明：若f为增函数， 当 时， ，由不等式性知 ，反之，若f在I上恒有 ，则对 且 对f在 上用Lagrange中值定理，当 ,s.t. 在I上增。
例4 设f(x)=x3-x, 试讨论函数f(x) 的单调区间.
定理6.4若f在 内可导，则f在 内严格单增（单减）的充要条件是(ⅰ)
(ⅱ) 在 内的任何子区间上
2、掌握罗比塔法则，并能熟练地运用罗比塔法则求各种类型的不定式极限。
【教学重点】：柯西中值定理与罗比塔法则。
【教学难点】：将其他类型不定式极限转化为 或 型的极限的技巧。
一 、 Cauchy
设 满足： 在 上都连续； ； ； ；
证明：作辅助函数 ，易知 上满足Roll定理的条件，故有结论。
注： 1）可否对 分别用Lagnange中值定理证之
在 的各阶导数分别为
即 ， ， ，…，
这说明，多项式 的各项系数由 在 的各阶导数以唯一确定。
对于一般函数，设其在 有直到阶导数，于是可以形式地放到一个多项式
(B)
称(B)为 在 的 多项式
的多项式系数 ， 称为 系数，
然后 是否等于 ，若不等，误差应是多大呢？
定理6.8若函数在 存在直到 阶导数，则有
, s.t. ； 这说明I上任意两点处f的值皆相等，故f在I上为常量函数.
例 证明：在 上恒有
证明：设 ,则f(x)在[-1,1]上连续,在[-1,1]可导.且 ，
而 ,
推论2若f，g在I上皆可导，且 ，则在I上 与 至多只相差一个常数，即 （c为常数）
推论3 （导数极限定理）设f在 的某邻域 内连续,在 内可导，且 存在，则f在 可导，且
推 论若f在区间I上可微，若 则f在I上严格递增（递减）
例5 证明不等式 ex>x+1, x≠0.
复述定理6.4及推论
例1.例1.设 ，
证明：
证明：
， ， ， ：
， ， 用
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2 .
例3 .
例4
证明： ， ，
，
， ，又 中
， ，
， .
§2 Cauchy中值定理和不定式极限
【教学目的与要求】：1、掌握柯西中值定理，了解柯西中值定理的几何意义。
【重点】：拉格朗日中值定理及函数单调（或严格单调）的充要条件。
【难点】：1、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
2、利用导数证明不等式的技巧。
一、Roll中值定理与Lagrange中值定理
定理6.1 (Roll定理)若 满足：（1） （2） 在 可导 （3） ，则
证明： 必在 有最大值M和最小值m，若M=m，则 为 上的常值函数，结论显然；若M m,则M与m必有其一在 内部某点 取得，故 为必极值点，由Fermat 知 .
解：
例14求
解：先求
习题 6 、设 在 点的某邻域二阶可导，证明对充分小的 ， 使得
解 ：令 ，当 充分小时， 在 上连续，在 可导， 不等于0，由 中值定理证
（ ）
再令 在 用 中值定理证
取 ，即证
§3公式
教学目的与要求：1、掌握带有佩亚诺余项型的泰勒公式及带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
2、熟记基本初等函数的麦克劳林公式（带有佩亚诺余项型及带有拉格朗日型余项）。
即为
证明：
要证
证 由 可知 k=0、1、2…n
故
又显然有
而
由 存在，故在点 的某邻域 内 存在 阶导函数 ，当 ，且 时，对不等式 ，连续使用 次 法则
可证
即 注1 若 在 附近满足
其中， 为 的 次多项式，但 未必是 的Taylor多项式
例 当
为 函数， 在 处只有一阶导函数 而无其他阶导数
然而
若改
注：1）三个条件缺一不可
2）几何意义
例1 在R上可导，若 无实根，则 =0至多只有一实根
定理6.2（Lagrange ）若 满足1） ，2） 则 ——Lagrange中值公式
说明：1、特解； 2、几何意义
证明：作辅助函数 即可。
Lagrange中值公式的基本形式
例2证明对一切h>-1,h 0成立不等式
第六章 微分中值定理及其应用
§1 Lagrange 定理和函数的单调性
【教学目的与要求】：
1、熟练掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2。
4、掌握拉格朗日中值定理的推论3（导数的极限定理），并能利用它求分段函数的导数。
5、掌握函数在区间上单调的充要条件及严格单调的充要条件，并能运用它证明函数的单调区间。
就有
但 非 的Taylor多项式，即 不等于
在 的某邻域 内 可导，且
则
证明：证A为定数的情形，由 ，对 当 满足 时有 ，由 ，对 在 上用 中值定理，即 由 有： ，
由
，
3、 其它类型不定式极限
还有 等型不等式，主要通过将其转化为 型来处理。
例7求
例8求
解：此为 型
例9求 （ k 为常数）
补例 求
解：此属 型
例10求
例12
例13设 且已知
证明：考虑函数 ,x在0与h之间，显然在0到h组成的闭区间上连续，开区间上得 ，当h>0时， ①； 当-1<h<0时,1>1+ h>1+h>0 ②；
由①②知，当h>-1时,且h 0时,
推论1若f在区间I上可导，且 则f为I上的一个常量函数.
证： ,设 ，则f在 上满足Lagrange中值定理的条件.
证明：按左右导数证之. ,f在 上满足Lagrange定理 条件， , s.t. 又 ， 当 时， ， 对上式两边取极限.
设 ，同理可设 ，又 存在,记为K，故
例3 求分段函数 的导数.
解:略
定理区间I上处处可导的函数f其导函数在I上不可能有第一类间断点.
二 、 单调函数
定理6.3设f在I上可导，则f在I上递增（减）的充要条件是