l
l
l
l
（1）路径OAB：路径OA+OB
O
D
对OA：x=0,dx=0,y:0~1
（3）路径：y=x，则：
Re zdz xdx i xdy 0
OA
OA
OA
1
1
Re zdz xdx i ydy xdx i ydy
OB
OB
OB
0
0
1 1i 22
对AB：y=1,dy=0,x:0~1 1
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)
l
n nk 1
lim
[u(xk , yk ) iv(xk , yk )][( xk xk1) i( yk yk1)]
n k 1
n
lim
[u(xk , yk ) iv(xk , yk )][( xk xk1) i( yk yk1)]
（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧： 宗量用指数形式表示：
z z0
z z0 ei
例2
1
计算积分 | 1
z
|
dz
积分路径是（1）直线段
y
（2）单位圆周的上半（3）单位圆周的下半
解：
（1）在-1到1的直线段= 上l0
x
路径方程为y=0
z x2 y2 | x | dz=dx+idy=dx
AB
0
0
2
zdz
zdz
zdz 7 12i
（2）同理可求 O 另一条路径ODB
l
OA
AB
2
的积分也为此数
D
（3）路径： y 4 x; x : 0 ~ 3, y : 0 ~ 4 3
zdz xdx ydy i ydx xdy
l
l
l
3
xdx
4
ydy i
3 4 xdxi
0
例：计算圆弧积分：
z a rei
n为整数
i
2
2
[ cos(n -1) d i sin(n -1) d ]
r n1 0
0
3、复积分的性质
n
n
n
ck fk (z)dz ck fk (z)dz ck fk (z)dz
l k 1
1
Re zdz xdx i xdy xdx
AB
Re zdz
AB
Re zdz
AB
Re
zdz
0
1
2
l
OA
AB
2
（2）同理可求另一条路径ODB的积分
为：1/2+i
例 计算 zdz ，l 为从原点到3+i4的三条直线段。
l
解：分析：积分式为： z x iy dz dx idy
l
积分n函 数k1
积分路径 一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
2、复变函数积分计算方法
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1) n k 1
l
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
f (x, y) u(x, y) iv(x, y)
zk பைடு நூலகம்k iyk
zk1 xk1 iyk1
注：
应学会利用y与x关系（y和x的关系显式, 即积分路径表示式）将复函数线积分化为 定积分或不定积分计算
例1：沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫l Re(z) dz从O 到B（1，1）的定积分。
解：分析积分式与路径
A
B
f (z) Re z :u Re z x,v 0
Re zdz x(dx idy) xdx i xdy
所以
1
1
1
| z | dz | x | dz 2 xdx 1
1
1
0
y
2）在单位圆上半周上：
令
z ei
x
则
1
| z | dz
0 iei d 2
1
3) 在单位圆下半圆周上:
=
1
| z | dz
0 iei d 2
1
可见
0
| z | dz | z | dz 2 (2) 0
n k 1 n
n
lim lim u(xk , yk )( xk xk1)
v(xk , yk )( yk yk1 )
x kn1
x k 1n
lim i limu(xk , yk )( yk yk1) i
v(xk , yk )( xk xk1)
x k 1
x k 1
u(x, y)dx v(x, y)dy i u(x, y)dx i v(x, y)dy
复积分化为：
zdz (x iy)(dx idy) xdx ydy i ydx xdy
（1）路径OAB：l 路径Ol A+OB
4l
l
对OA：x=0,dx=0,y:0~4 zdz ydy 8 A
B
对AB：y=4,dy=30,x:0~33OA
zdz xdx i ydx
9
0
12i
第二章
复变函数的积分
重点
1、复变函数积分的概念、性质和计算方法； 2、单、复连通Cauchy定理(解析函数的基本定理) 的应用； 3、应用Cauchy公式（解析函数的基本公式）计算 回路积分。
§2、1 复变函数的积分 y
zk zk
1、复变函数的积分定义
f(z)在复平面内的l分段光 滑曲线上连续,在l上取一
l
l
l
l
u(x, y)dx v(x, y)dy i v(x, y)dx u(x, y)dy
l
l
可见 将复变函数的路积分转化为两个实变函数的线积
分，因此实变函数的线积分性质对复变函数而言均成立。
f (z)dz udx vdy i vdx udy
l
l
l
(u iv)(dx idy) l
4 3 ydy
0
0
03
04
1 32 1 42 i 4 1 32 i 3 1 42
2
2
32
42
1 (9 16) i 1 (12 12) 7 12i
2
2
2
A
B
O
D
A
B（1，1）
1 ;OAB路径 2
l
Re
zdz
1 2
i; ODB路径
O
D
1 2
1 2
i; OB路径
A
O
思考：
B（3，4） D
7 2
12i;
OAB路径
l
zdz
7 2
12i; ODB路径
7 2
12i; OB路径
究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) ( ),dz z'(t)dt
则
f (z)dz f [z(t)]z'(t)dt
l
z3 z1z2z1z2
z3
zk1Dzk
系将列l分分成点n小z0 段在每zn 一小段上任O取一点A
k
。则有下式复变函数积分 n
lim f (k )( zk zk1)
存在，
n k 1
B
x
且值与 k 点的选取无关。称该和的极限为函数
f(z)沿曲线l从A B的路积分，记作
n
f (z)dz lim f (k )(zk zk1)