安徽建筑大学高等数学（下）试卷参考解答2013-2014学年第二学期一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设12=+z xe z y ，则()0,1dz=2edx dy --.2．空间曲面1532:222=++∑z y x 在点(1,1,2)-处的法线方程为1122412x y z -+-==-.二、选择题（每小题3分，满分15分） 1．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质： ①),(y x f 在点00(,)x y 处连续，②),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续， ③),(y x f 在点00(,)x y 处可微，④),(y x f 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用“Q p ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ， 则有（ .A ）.A ②⇒③⇒① .B ③⇒②⇒① .C ③⇒④⇒① .D ③⇒①⇒④2．设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的两个偏导数存在，则),(00y x f x '=0，),(00y x f y '=0是),(y x f 在点00(,)x y 处取得极值的（.B ）.A 充分但非必要条件 .B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件4．0)(22='''+''y x y 是（.C ）微分方程.A 一阶 .B 二阶 .C 三阶 .D 四阶5．微分方程xe x y y y 2)13(6--=-'-''的特解形式为（ .B ）.A x e b ax y 2)(*-+= .B x e b ax x y 2)(*-+=.C xe b ax x y 22)(*-+=.D x x e C e C y 3221*+=-三、（8分）设),(22yx y x f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解：1212z xf f x y∂''=+∂， 2111222122222112[2()][2()]z x xx yf f f f y f x y y y y y∂'''''''''=+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 21112222232214(2)x x xyf f f f y y y'''''''=+---. 七、（10分）求微分方程0)(22='+''y x y 满足初始条件(0)0,(0)1y y '==-的特解. 解：令y p '=，原方程化为220p xp '+=，即212dp xdx p -=，积分得：21x C p =+， 21p x C=+.又(0)1y '=-，得1C =-. 211y x '=-，12111ln 211x y dx C x x -==++-⎰ ， 将(0)0y =代入得10C =，所以特解为11ln21x y x -=+.八（10分）求函数(,,)ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面2225x y z ++=(0,0,0)x y z >>>上的最大值.解： 令222(,,)ln ln 3ln (5)F x y z x y z x y z λ=+++++-.由2220,0,0, 5.x y z F F F x y z '=⎧'=⎪⎨'=⎪++=⎩得222120,120,320,5.x x y y z z x y z λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪++=⎩， 解得1,1,3.x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩由于问题的解是唯一存在的.所以此驻点就是所求的最大值点(1,1,3).此时最大值为3ln 32.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2002-2003学年第 二 学期一、填空题（每小题3分，满分15分） 1．设函数ln(32)xy z x y e =-+，则(1,0)dz =3144dx dy -.5．微分方程0='+''y y x 的通解为12ln y C x C =+.二、选择题（每小题3分，共15分）1．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(222222,y x y x yx xy y x f 则（ .C ）.A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在.D ),(y x f 在点(0,0)处可微2．曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为（.B ）.A 32x y z -==- .B 326yx z -==-.C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--=5．设xx x x xe e y e x y xe y +=+==2321,)1(,为某二阶线性非齐次微分方程的三个特解，则该方程的通解为（ .D ），其中321,,C C C 为任意常数..A 332211y C y C y C ++.B 11223C y C y y ++.C x x x xe e e C eC -++2221.D x x xxe e C eC ++221三、设),)((2xy y x f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y ∂∂∂.（本题10分）解：122()zx y f yf x∂''=-+∂， 212(2())z x y f yf x y y∂∂''=-+∂∂∂ 1111222()[2()]f x y x y f xf '''''=-+---+22122[2()]f y y x f xf '''''++-+ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f ''''''''=---+-++ .四（10分）、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值.解：在闭区域D 内，由100x y f y f x ⎧'⎪=-=⎨'==⎪⎩得驻点(0,1)，(0,1)0f =. 在D 的边界)0(322≥=+y y x 上， 令22(,,)(1)(3)F x y x y x y λλ=-++-，由22120,20,3.xy F y x F x y x y λλ⎧'=-+=⎪'=+=⎨⎪+=⎩得{2,1,x y ==(2,1)0f =. 在D 的边界x 轴上，()3,0，()3,0-，()3,03f=-，()3,03f -=，比较以上各函数值，知最大值为()3,03f -=，最小值为()3,03f =-.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2003-2004学年第 二 学期一、填空题 （每小题3分，满分15分）1．微分方程02)(3=-+xdy dx x y 满足56|1==x y 的特解为315y x x =+.5．曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面方程是245x y z +-=.二、选择题（每小题3分，满分15分） 1．函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（ .D ）.A 充分但非必要条件.B 必要但非充分条件.C 充分必要条件.D 既不是必要，也不是充分条件2．微分方程xe x y y y 2323-=+'-"的特解形式为（ .D ）.A ()x ax b e + .B ()x ax b xe +.C ()xax b ce++ .D ()x ax b cxe ++4．．若),(y x f 函数在),(00y x 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且满足2000000[(,)](,)(,)0xy xx yy f x y f x y f x y ->，则),(00y x (.A ).A 必不为),(y x f 的极值点.B 必为),(y x f 的极大值点.C 必为),(y x f 的极小值点.D 可能不是),(y x f 的极值点。

三（10分）、求微分方程0)(2='+"y yy 满足初始条件21,1|00='===x x y y 的特解. 解：令y p '=，dp y pdy ''=.原方程化为20dpyp p dy+=， 当0p =时，0dydx=，y C =；当0p ≠时，0dp yp dy +=，dp dyp y=-，1C p y =，即1C y y '=，1ydy C dx =，21212y C x C =+.代入初始条件，得1211,22C C == . 所求特解为21y x =+ .四（15分）、设),(z y y x f u =，其中f 具有二阶连续偏导数，求du 及zy u∂∂∂2.解：11u f x y ∂'=∂，1221u x f f y z y∂''=-+∂，22u yf z z∂=-∂. 11222211()x ydu f dx f f dy f dz y z y z''''=+-++-. 21221()u x f f y z z zy ∂∂''=-+∂∂∂ 12222222211[()][()]x y yf f f z y z z z'''''=-⋅--+- 122222321x y f f f yz z z'''''=--.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2004--2005学年第 二 学期一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1．设x yz e-=，则z zx y∂∂+∂∂=0．2．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P 的坐标为(1,1,2)．5．微分方程2xy y x '-=的通解为()y x x C =+．二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1。

设(),z f x y =为二元函数，则下列结论正确的是（ .D ）.A 若(),f x y 在点()0,0x y 处偏导数都存在，则lim oox xy y →→(),f x y 存在；.B 若(),f x y 在点()0,0x y 处连续，且偏导数都存在，则(),f x y 在点()0,0x y 处可微；.C 若(),f x y 在点()0,0x y 处可微，则(),f x y 在点()0,0xy 处偏导数连续；.D 若(),f x y 在点()0,0x y 处偏导数都连续，则(),f x y 在点()0,0x y 处连续．2.设函数(),z z x y =由方程220x y z xyz ++-=所确定，则(),z z x y =在点(1,1)--处沿方向{}3,4l =的方向导数为（ .A ）.A 485-.B 485.C 48- .D 485.微分方程()21y y '''=+的通解为（.C ）.A 12ln(cos )y x C C =-++.B 12ln(cos )y xC C =++.C ()12lncos y x C C =-++.D ()12lncos y x C C =++三(10分)、设()22,z f x y xy =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.解： 122zxf yf x∂''=+∂，21112212222[2][2]zx yf xf y f y xf f x y∂'''''''''=++⋅++∂∂ 2211122224(22)xyf x y f xyf f '''''''=++++.四（12分）、 设()22,44f x y x y x y =--- ，（1）求(),f x y 的极值；（2）求(),f x y 在闭圆盘229x y +≤上的最大值和最小值.解：（1）42x f x '=-，42y f y '=--，2xxA f ''==-，0xyB f ''==，2yyC f ''==-. 由{0,0,x y f f '='=得{420,420,x y -=-+=，解得驻点(2,2)-.由于20AC B ->，0A <，所以(2,2)-是极大值点，极大值为(2,2)8f -=. （2）令2222(,,)44(9)L x y x y x y x y λλ=---++-.由22420,420,90,x y xL x L y L x y λλ⎧'=+=⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎩解得驻点3232,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭及3232,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. max (2,2)8f f =-=，min 3232,122922f f ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2005-2006学年第 二 学期一、填空题（每小题3分，共15分） 1．曲面ln 0y x e z -+=在点（1，0，1）处的切平面方程为2x y z -+= .5．微分方程tan cos y y x x '+=的通解为()cos y x C x =+ .二、选择题（每小题3分，共15分） 1．考虑二元函数(,)f x y 的下面5条性质 ①当00(,)(,)x y x y →时(,)f x y 的极限存在， ②(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，③(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在， ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续， ⑤(,)f x y 在点00(,)x y 处可微．若用“P Q ⇒”表示可由性质Ｐ推出性质Ｑ，则下列结论正确的是（A ）A ④⇒⑤⇒②⇒①．B ④⇒⑤⇒③⇒①．C ⑤⇒④⇒③⇒②．D ⑤⇒③⇒②⇒①．4．12ln x y C C e +=为微分方程（ B ）的通解．A 2yy y '''=B 2yy y yy ''''-=C 22yy y y '''-= D yy y ''''= 5．设二阶非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=有三个线性无关的特解123,,y y y ，则该方程的通解为（ D ）A11223y C y C y y =++．B 113223()()yC y y C y y =-+-．C 1122123(1)y C y C y C C y =+---．D1122123(1)y C y C y C C y =++--．三、（本题满分10分）设(,ln ())z f xy x g y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 可导，求2z x y∂∂∂．解： 121x z f y f x''=⋅+⋅ 1111221221()()xy z f y f x f g f x f g x'''''''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅11112221(1)f xyf yg f g f x'''''''=++++四、（本题满分10分）求椭圆2244x y +=上的点到直线2360x y +-=的最长距离和最短距离．解：设(,)x y 为椭圆上任意一点，则该点到直线2360x y +-=的距离为23649x y d +-=+.构造Lagrange 函数222(,,)(236)(44)F x y x y x y λλ=+-++-， 则由22(,,)4(236)20,(,,)6(236)80,(,,)440.x y F x y x y x F x y x y y F x y x y λλλλλλ'=+-+=⎧⎪'=+-+=⎨⎪'=+-=⎩ 解得 8,53,555,4x y λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩和 8,53,55.4x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 又该问题最值一定存在，且可能极值点仅有两个，所以min 1831236551313d =⨯+⨯-=,max 18311,236551313d =-⨯-⨯-=.合肥工业大学试卷高等数学（下）参考解答2006-2007学年第 二 学期一、填空题 （每小题3分，满分15分）1．旋转曲面22z x y =+在点(1,2,4)处的法线方程为 124241x y z ---==-. 5．函数2u xy z =在点(1,1,2)P -处的方向导数最大值等于21.二、选择题（每小题3分，满分15分）1．函数u xyz =在条件下1111x y z a++=(0,0,0,0)x y z a >>>>下的极值等于（.A ）.A 327a .B 39a .C 33a.D 3a3．设函数(,)f x y 在点(0,0)处的某邻域内有定义，且有2200(,)(0,0)lim 0x y f x y f x y →→-=+，则下列结论不正确的是（ .D ）.A (,)f x y 在(0,0)处连续 .B (,)f x y 在(0,0)处偏导数存在.C (,)f x y 在(0,0)处可微 .D (,)f x y 在(0,0)处某方向l 的方向导数不存在5．方程1x y y e '''-=+的一个特解形式为（ .D ）.A x ae b + .B x axe b + .Cx ae bx + .D x axe bx +三（12分）、设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中()f t 二阶可导，(,)g u v 具有连续的二阶偏导数，求dz 及2zx y ∂∂∂. 解：122z f g yg x ∂'''=++∂，2z f xg y∂''=-+∂.122(2)()dz f g yg dx f xg dy '''''=+++-+.21212222[2]2z f g yg f xg g xyg x y y∂∂''''''''''=++=-+++∂∂∂.八（6分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.解：令y p '=，则y p '''=.原方程化为：2()p x p p '+=，即dx x p dp p-=. 111()()()dpdpp p x e pe dp C p dp C p p C -⎰⎰=+=+=+⎰⎰. 由1(1)1x p y ='==得10C =.故2x p =.∵(1)1y '=∴p x =.即dy x dx=. 解得：32223y x C =+，又(1)1y =，213C =。