(1.1-3) 这就是自由粒子的波函数，它将粒 子的波动同其能量和动量联系了起来。 它是时间和空间的函数，即
( x, y, z, t )
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二、一般粒子的波函数及其物理意义(1)
当粒子受到外力的作用时，其能量和动量 不再是常量，也就无法用 i k A exp[ ( p r Et )] A exp[ i (k r t )] 这样简单的函数来描述，但总可以用某个 波函数 ( x, y, z, t ) 来描述这个粒子的特 性。 问题是，该如何理解波函数所代表的 物理意义呢？
量子力学
第一章
II. 波函数及其统计诠释
不确定度关系
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平面波与傅里叶变换的回顾
只考虑空间(t=t0)，一维情况下平面波为 ψ = Aexp(i kx) 将f(x)用exp(i kx)展开，有
1 f ( x) 2 1 F ( k ) e dk , F ( k ) 2
ikx


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三、一般粒子的波函数及其物理意义(4) 2、群体说
认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用或 疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而 言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现 在粒子在空间的位置是不确定的，它是以一 定的概率存在于空间的某个位置。
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二、一般粒子的波函数及其物理意义（5） 3、概率波（Born，1926）
粒子的波动性可以用波函数来表示，
( x, y, z) | ( x, y, z) | ei ( x, y, z ) 其中，振幅 | ( x, y, z ) |表示波动在空间一 2 点(x,y,z)上的强弱。所以， | ( x, y, z) |
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二、一般粒子的波函数及其物理意义(3) 1、波包 2 能量和动量的关系为，E p / 2m
利用 E hn , p k 2 得到 v k / (2m),
d 2 h 2 0 dk m
这说明随着时间的推移，粒子将无限增大。 显然物质波包的观点夸大了波动性的一面， 抹杀了粒子性的一面，与实际不符。
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二、一般粒子的波函数及其物理意义(2)
历史上对粒子波动性的认识有两种误解： (1)波包说，认为粒子波就是粒子的某种实 际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分 布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大 小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的 干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。 (2)群体说，认为体现粒子波动性的衍射行 为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的 结果。
2n E / , k
2
h / 2
ep p /
(1.1-2)
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一、自由粒子的波函数（2）
用以下函数描述
v和k都为常量的波应该是平面波，可
A exp[i(k r t )]
k 到 i
2 2 | ( r ) | | ( x , y , z ) | 设 r xi yj zk ，则 表示粒
子出现在点 r 附件的概率。
设 p px i p y j pz k 为粒子的动量，那么粒子具 有动量 p 的概率如何表示？
ipr / 平面波的波函数为 (r ) e
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
ip 1 r / 3 ( p ) e d p 32 (2)
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四、动量分布概率（2）
(r )
其中
ip ip 1 r / 3 i r / ( p )e d p ( pi )e 32 (2) i
应该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率 大小的一个量。从这个意义出发，可将粒 子的波函数称为概率波。
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11
三、波函数的统计诠释及其性质 2 | ( x, y, z) | 表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。 2 | ( x, y, z) | xyz 表示点(x,y,z)处的体积元
xyz 中找到粒子的概率。
2
这就是波函数的统计诠释。自然引入归一化条件
| ( x, y, z) | dxdydz 1 * 数学上， ( , ) d , d dxdydz，

称为积分形式表示的内积。
归一化条件可以用内积表示为 ( , ) 1
量子力学的诞生过程； Einstein的光子概念 E=hυ， p = h /λ; 德布罗意的物质波思想。微观粒子都具有粒 子和波动二重性，即波粒二象性。德布罗意 关系： υ=E/h，λ= h /p; Born给出了物质波的正确解释：几率波(或 概率波）。 问题：宏观物体的波动性?
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四、动量分布概率（1）

f ( x)e ikxdx
F(k)为f(x)的傅里叶变换 特别地，若 F (k ) 1 2 ，有
1 f ( x) 2



e dk ( x)
ikx
2
第2讲目录
一、自由粒子的波函数 二、一般粒子的波函数及其物理意义 三、波函数的统计诠释及其性质 四、动量分布概率 五、测不准关系（不确定度关系）
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对实际波函数的要求 1、可积性 | ( x, y, z ) | dxdydz 有限值
2
0
2、归一化

| ( x, y, z) | dxdydz 1
2
2
3、单值性，要求 | ( x, y, z) | 单值 4、连续性 ( x, y, z)(及其一阶导数连续)
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简短的回顾
3
一、自由粒子的波函数（1）
自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量E和动量 p pep 都是常量。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为 n=E/h，λ= h /p (1.1-1) 又因为波矢为 k ke ，其中k=2π/λ，因此，自由 粒子的 n和k都为常量。由(1.1-1)得到